人教A选修2-211-12学年高二数学：2.3数学归纳法课件(人教A版选修2-2).ppt

2．3　数学归纳法 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证题步骤． 本节重点：数学归纳法的原理及步骤． 本节难点：用数学归纳法证题的步骤、技巧． 在应用数学归纳法的过程中： 第①步，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等． 第②步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的． 另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开始，即假设n＝k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为kn0就错了． 用数学归纳法证明中一个关键问题就是要抓住项数和项的增减变化，如证明恒等式和不等式中，n＝1时究竟有几项，从n＝k到n＝k＋1的过渡到底项有哪些变化，添了几项，减了几项． 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取 时命题成立． ②(归纳递推)假设 ． 2．应用数学归纳法时特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与 有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． [点评]　证明过程的关键是第二步由n＝k到n＝k＋1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形． [分析]　按照数学归纳法的步骤证明，在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中应用了放缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一． [点评]　用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式． [例3]　求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R. [分析]　证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决． [证明]　(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题也成立． 由(1)，(2)知，对一切n∈N*，命题都成立． [点评]　①对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除．②在推证n＝k＋1时，为了凑出归纳假设，采用了“加零分项”技巧：a(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1.另外，在推证n＝k＋1命题也成立时，还可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)(q(a)为多项式)， 所以(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1， 所以n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1 ＝ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k－1 ＝ak＋2＋(a＋1)2[(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1] ＝ak＋2＋(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－(a＋1)2ak＋1 ＝(a＋1)2·(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1(a2＋a＋1)， 显然能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时，命题亦成立． 求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除． [证明]　(1)显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除． (2)假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时， x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1 ＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1 ∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1) 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1) 由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除. [例4]　平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2－n＋2(n∈N*)个区域． [分析]　本题关键是弄清第k＋1个圆与前k个圆的交点个数，以及这些交点又将第k＋1个圆分成了多少段弧，每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的． [证明]　(1)当n＝1时，1个圆将平面分成2个区域，命题显然成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成