【数列通项公式与求和方法.doc

数列综合 专题一：数列通项公式的求法详解： 一、观察法关键是找出各项与项数n的关系 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4） 二、公式法 公式法1：定义法【即已知数列的类型（等差数列或等比数列），可以直接用性质解答】 ①、等差数列的通项公式： ②、等比数列的通项公式： 例2：等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ） （B） （C） （D） 例3：①已知等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式. ②已知数列是公差不为0的等差数列，a1 = 2且a2 , a3 , a4＋1成等比数列。求数列的通项公式 ③己知等差数列，公差d0，前n项和Sn，且满足a2a3=45，a1+a4=14，求数列的通项公式及前n项和Sn 公式法2：已知（数列的前n项的和为），利用公式进行做差求解 例4：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式. （1）. （2） 例5：已知数列的前项和为，且，．求数列的通项公式。 三、?累加法 【形如的递推关系】 注：若，求：。 例6：①若在数列中，，，求通项 ②已知数列，且a1=2，an+1=an+n，求an. 例7：①已知数列满足，，求此数列的通项公式. ②已知数列满足，，求。 四、累积法（累乘法） 【 形如=(n)·型】 注：已知，求，用累乘法：。 例8：①已知数列满足，，求。 ②已知,求通项an. 练习：已知数列则 ，数列{an}的通项公式为 ． 例9：已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式 五、构造特殊数列法【已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）】 构造1：递推公式为（其中其中，p，q均为常数，） 解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解 例10：①已知数列中，，，求通项 ②已知数列满足：求证：数列是等比数列，并求数列的通项 构造2：递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q, r均为常数） 解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型（1）的方法解决。 例11：已知数列中，,，求。 构造3：形如或的递推数列都可以用倒数法求通项 例12： ①已知数列｛｝中，，求。 ②已知数列{}满足时，，求通项公式﹒ 六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】 类型一：作商法：已知求，用作商法： 例13：已知数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式 类型二：作差法：已知（即）求，用作差法： 例14：数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式. 对于任意的n∈N*，数列{an}满足，求数列{an}的通项公式。 练习：已知数列满足，且，求数列的通项公式。 专题二：数列的前n项求和的求法详解： 公式法 1、等差数列其前n项和公式： 2、等比数列前n项的和公式： 或 注：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.； 3、常用的几个求和公式：， ， . 例1①在等差数列中，已知，公差为2，求数列前n项和Sn。②在数列中，已知，，求数列前n项和Sn。 例2：已知，求的前n项和 二、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 例3、 求数列的前n项和：，… 三、倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. 例4、求的值 四、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. 例5、 求和： 练习：求数列前n项的和. 五、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。常用裂项形式有如： （1）=；（2）；（3）； （4） 例6、求数列的前n项和. 例7、在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和. 练习：已知数列{an}：，求前n项和 练习：求和：