第七讲函数的奇偶性与周期性.docVIP

第七讲 函数的奇偶性与周期性 一、基础训练：由浅入深，夯基固本 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) （1）若一个函数是奇函数，则它的图象一定过原点； (　 　) （2）若一个在有意义的奇函数，则； (　 　) （3）已知偶函数在区间上单调递增，则在区间上也递增； (　 　) （4）函数在定义域上满足，则是周期为4的周期函数； (　 　) （5）如果函数为定义域相同的偶函数，则是偶函数． (　 ) 2.（13年广东理）定义域为的四个函数,,,中，奇函数的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 3.（15年北京文）下列函数中为偶函数的是 A. B. C. D. 4.（教材习题改编）已知定义在R上的奇函数，满足，则 A.－1 B.0 C.1 D.2 5.已知函数为奇函数，且当时，，则 ； 6.设是周期为2的奇函数，当时，，则 ； 7.(11年浙江理11)若函数为偶函数，则实数________. 二、典例分析：以例求法，举一反三 （一）判断函数的奇偶性 例1：判断下列函数的奇偶性 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 方法小结：利用定义判断函数奇偶性的步骤 1.先确定函数定义域，并判断定义域是否关于原点对称：若定义域不关于原点对称，则直接下结论：是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则进行下一步； 2.求，找与的关系； 3.作出结论：若，则是偶函数；若，则是奇函数. 4.分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． 练习1：（14年新课标全国卷Ⅰ）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是 A.是偶函数 B.是奇函数 C.是奇函数 D.是奇函数 练习2：判断下列函数的奇偶性： （1）； . （二）函数奇偶性的应用 例2：（1）（14年湖南）已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则 A.－3 B.－1 C.1 D.3 （2）（14年新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数在[0，＋∞)单调递减，，若，则的取值范围是 ； 方法小结：函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式，利用奇偶性构造关于的方程，从而可得的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 练习3：(12年上海)已知是奇函数，且f(1)＝1，若，则＝ ； 练习4：?(15年浙江冲刺卷)已知函数在R上为偶函数，当,时, ，若,则实数的取值范围是 ； （三）函数的周期性 例3：(12年浙江文16)设函数是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则________； 方法小结：函数周期性的判定与应用 (1)判定：判断函数的周期性只需证明便可证明函数是周期函数，且周期为T。 (2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期. 练习5：设是定义在R上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，. (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式． 变式：设是定义在R上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，，求的值。 能力训练一：?(15年宁波十校联考15)已知函数的定义域为R，，且函数为奇函数，为偶函数,则 ； 能力训练二：(11年沈阳模拟)设是(－∞，＋∞)上的奇函数，，当时，. (1)求的值； (2)当时，求的图象与轴所围成图形的面积； 三、课时小结： 1.一条规律：奇、偶函数的定义域关于原点对称； 2.两个性质 (1)若奇函数在处有定义，则； (2)设的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 3.三种方法：判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3