《2015创新设计高中理科数学12-2.ppt

第2讲　直接证明与间接证明 [必威体育精装版考纲] 1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点． 2．了解反证法的思考过程和特点. 知 识 梳 理 1．直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． (2)分析法 ①定义：从 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法． 2．间接证明 反证法：假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明 的证明方法． 辨 析 感 悟 对三种证明方法的认识 (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件． (×) (2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾． (×) (3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程． (√) [感悟·提升] 两点提醒　一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1)； 二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾. 考点一　综合法的应用 规律方法 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明． 考点二　分析法的应用 审题路线　从结论出发?观察不等式两边的符号?移项(把不等式两边都变为正项)?平方?移项整理?平方?移项整理可得显然成立的结论． 规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键． (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证． 证明　∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立， 只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2) 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， 即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证． 考点三　反证法的应用 规律方法 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的． 【训练3】 已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根． 1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知． 2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知． 3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来． 4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的． 答题模板13——反证法在证明题中的应用 所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾． 所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．(14分) [反思感悟] (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的． (2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法． (3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去． 答题模板　用反证法证明数学命题的答题模板： 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q； 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设綈q不真，于是原结论q成立