《6.曲线积分重修2011.ppt

曲线积分与曲面积分 * 曲线积分 III、格林公式及其应用 I、 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) II、 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1．曲线型物体的质量 设一曲线型细长构件，在xoy面上占有一段曲线弧L,端点为A,B,在AB上任一点的线密度为?(x,y),求这构件的质量。 2．对弧长的曲线积分的定义 I、 对弧长的 曲线积分 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2.定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数 f (x，y)在L上有界。若对L的任意分割和对局部的任意取点， 乘积的和式 的极限总存在，则 称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作 其中f (x，y)叫做被积函数，L叫做积分弧段。 依上定义，有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3．几点说明 （3）如L是光滑的或分段光滑的简单闭曲线，常记作： （2）定义可推广到空间的曲线Γ上的曲线积分 （1）f (x，y)在L上连续， Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 4．对弧长的曲线积分的性质 （1）关于被积函数的线性性质 （2）对于路径的可加性 （3）无方向性 其中L=L1+L2 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. （4）对称性 1) 如L关于y轴对称，L1是L的右半支，则 当L关于x轴对称时有类似的结论。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 5. 对弧长的曲线积分的计算方法 1) 定理 设L的参数方程为 : 计算方法：化为对参数的定积分， “一代”：将x=?(t),y=?(t) ,代入被积函数f (x，y)； “三定限”：下限小上限大。 “二换”：将ds换成 “一代二换三定限” Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2) 几种变形 ①如L：y=y(x)，a≤x≤b则 ②如L：x=x(y)， c≤y≤d则 ③如 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3) 举例 例1. 计算 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解： ds=adθ a O x y θ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright