中国矿业大学(徐州)08级.doc

中国矿业大学08～09学年第1学期 《 数学分析(1) 》试卷(A) 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 学院__________班级__________姓名__________学号__________ 题号 一 二 三 总分 得分 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 一、叙述题(每题4分共20分) 1．叙述函数在区间上无界的定义和的定义。 2．叙述极限存在的Cauchy准则，据此再叙述不存在的充要条件。 3．叙述极限存在的归结原则。 4．叙述在区间上一致连续和不一致连续的定义。 5．叙述函数是区间上的凸函数的定义，并写出一个充要条件。 二、计算题（每题8分共40分） 1．求 。 2．设 ，且，求。 3．求在上的最大值与最小值。 4．求 。 5. 求 。 三、证明题（每题10分共40分） 1．设在区间上有界，记，证明 。 2．设在上连续，且存在。证明在上一致连续。 3．证明：当时，成立不等式 。 4．设在上二阶可导。若有，则存 在，使得。 《 数学分析(1) 》试卷(A)参考答案 一、叙述题(每题4分共20分) 1．叙述函数在区间上无界的定义和的定义。 2．叙述极限存在的Cauchy准则，据此再叙述不存在的充要条件。 3．叙述极限存在的归结原则。 4．叙述在区间上一致连续和不一致连续的定义。 5．叙述函数是区间上的凸函数的定义，并写出一个充要条件。 以上各题参考教材，略。 二、计算题（每题8分共40分） 1．求 。 解 记，显然，说明有下界。又由于 所以从第三项开始单调下降。由单调有界定理知，有极限，记为。 在递推关系式两边取极限得 ， 即 。■ 2．设 ，且，求。 解 因为 ， 所以由洛必达法则得 。■ 3．求在上的最大值与最小值。 解 令得驻点. 计算 ，，，， 所以最大值 ，最小值 。■ 4．求 。 解 由麦克劳林公式得 ， ， 。 所以求得 。■ 5. 求 。 解 ,则， 原式 。■ 三、证明题（每题8分共40分） 1．设在区间上有界，记，证明 。 证 只证的情况，否则为常数结论显然成立。 一方面，由，知（） 于是 另一方面，由确界的定义，对（不妨），使 ， 这时 综上两个方面，得。■ 2．设在上连续，且存在。证明在上一致连续。 证 因为存在，由Cauchy准则知：，，只要，就有。 又因为在上连续，所以在上连续，进而在上一致连续。即对上述，，对任何，只要就有。 综上，可知，任何，只要就有。即在上一致连续。■ 3．证明：当时，成立不等式 。 证 设，则 。 当时，由可推知 ，。 当时，由可推知 ，。 从而得到 。■ 4．设在上二阶可导。若有，则存 在，使得。 证 不妨假设，则由导数定义和极限保号性可知，存在，使得 。 而在上连续，故由介值定理可知存在，使得 。 在上对函数应用由罗尔定理，知存在，使得 。 那么对函数在再应用罗尔定理，则存在，使得 。■ 1