五向量代数与空间解析几何（数学一）.doc

五、 向量代数与空间解析几何（数学一） §5．1 向量代数 A 内容要点 (一)．空间直角坐标系 从空间某定点作三条互相垂直的数轴，都以为原点，有相同的长度单位，分别称为轴，轴，轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称为坐标原点。 1．两点间距离 设点，为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 2．中点公式 设为，联线的中点，则 (二)．向量的概念 1．向量 既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点到另一点的顺序关系，而两点间又有一个距离。常用有向线段表示向量。点叫起点，点叫终点，向量的长度叫做模，记为。 模为的向量称为单位向量。 2．向量的坐标表示 若将向量的始点放在坐标原点，记其终点，且点在给定坐标系中的坐标为。记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为，则向量可以表示为 称之为向量的坐标表达式，也可以表示为 称分别为向量在轴，轴，轴上的分量。称分别为向量在轴，轴，轴上的投影。 记与轴、轴、轴正向的夹角分别为，则 方向余弦间满足关系 描述了向量的方向，常称它们为向量的方向角。的模可以表示为 与向量同方向的单位向量可以表示为。与向量平行的单位向量可以表示为。 向量同方向上的单位向量常记为。 (三)．向量的运算 1．加法。 减法。 2．数乘。（是常数） 向量的加、减和数乘运算统称线性运算。 3．数量积。 其中为向量间夹角 为数量也称点乘。 表示向量在向量上的投影，即 4．向量积也称为叉乘。 的方向按右手法则垂直于所在平面，且 是向量，。等于以为邻边的平行四边形的面积。 5．混合积：定义，坐标公式 几何意义表示以为棱的平行大面体的体积。 (四)．两向量间的关系 设 关系 向量表示 向量坐标表示 间夹角 与垂直 与平行 B 典型例题 例．设为两个非零向量，为非零常数，若向量垂直于向量，则等于（ ）。 （A） （B） （C） （D） 分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式。如果垂直于向量，因此应有 即 由于为非零向量，因而应有，故应选（B）。 §5．2 平面与直线 A 内容要点 (一)．空间解析几何 1．空间解析几何研究的基本问题 （1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程。 （2）已知坐标和间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。 2．距离公式 空间两点与间的距离为 3．定比分点公式 是的分点：，点的坐标为，则 当为中点时， (二)．平面及其方程 1．法（线）向量，法（线）方向数。 与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。 2．点法式方程 已知平面过点，其法向量，则平面的方程为 或 其中 3．一般式方程 其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量。 特别情形： ，表示通过原点的平面。 ，平行于轴的平面。 ，平行平面的平面。 表示平面。 4．三点式方程 设，，三点不在一条直线上，则通过的平面方程为 5．平面束 设直线的一般式方程为，则通过的所有平面方程为，其中。 6．有关平面的问题 两平面为 与间 夹角 垂直条件 平行条件 重合条件 设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离： (三)．直线及其方程 1．方向向量、方向数 与直线平行的非零向量，称为直线的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。 2．直线的标准方程（对称式方程）。 其中为直线上的点，为直线的方向数