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一题多解的多向思维 四川省营山双河中学校 侯淑琼 【摘要】利用多角度去观察一道题,强化思维的连贯性,知识的衔接,能够全面利用所学的知识解决一些实际性的问题,培养学习者对知识的活学活用有着重要的帮助。 【关键词】多向思维 均值不等式 “1”的妙用 换元后构造均值不等式 用判别式 三角代换 0前言 求最值问题是学习者常遇见的.通过一道例题的多解，让学习者从不同角度，运用不同知识解决最值问题.这样有利于学习者把知识充分运用，知识模块更加清晰，解决问题更加敏捷. 一、一题多解的多向思维的意义 通过一题多思，一题多解，可以巩固学习者知识，训练学习者思维，开拓学习者视野。利用多角度去看一道题,强化思维的连贯性,知识的衔接,能够全面利用所学的知识解决一些实际性的问题,培养学习者对知识的活学活用有着重要的帮助。 多向思维是求异思维最重要的形式，表现为思维不受点、线、面的限制，不局限于一种模式，既可以是从尽可能多的方面去思考同一个问题，也可以从同一思维起点出发，让思路呈辐射状，形成诸多系列。它最直接的效果是能避免思路闭塞、单一和枯竭。 多向思维 在学术文献中的解释 1、多向思维所谓“多向思维”,实质上是指使思考中信息朝多种可能的方向扩散,以引出更多的新信息的发散性思维 2、多向思维主要是指从不同角度思考问题.它包括: 1具有多种思维指向. 2多种思维起点. 3运用多种逻辑规则及其评价标准. 4多种思维结果.多向思维最终达到另辟蹊径和整体优化的目标 思维(Divergent Thinking)的作用 核心性作用 想象是人脑创新活动的源泉，联想使源泉汇合，而发散思维就为这个源泉的流淌提供了广阔的通道。 基础性作用 创新思维的技巧性方法中，有许多都是与多向思维有密切关系的。 保障性作用 多向思维的主要功能就是为随后的收敛思维提供尽可能多的解题方案。这些方案不可能每一个都十分正确、有价值，但是一定要在数量上有足够的保证。 流畅性作用 流畅性就是观念的自由发挥。指在尽可能短的时间内生成并表达出尽可能多的思维观念以及较快地适应、消化新的思想概念。机智与流畅性密切相关。流畅性反映的是流畅性思维的速度和数量特征。 1）变通性 变通性就是克服人们头脑中某种自己设置的僵化的思维框架，按照某一新的方向来思索问题的过程。 变通性需要借助横向类比、跨域转化、触类旁通，使发散思维沿着不同的方面和方向扩散，表现出极其丰富的多样性和多面性。 独特性 独特性指人们在发散思维中做出不同寻常的异于他人的新奇反应的能力。独特性是发散思维的最高目标。 多感官性 多向思维不仅运用视觉思维和听觉思维，而且也充分利用其他感官接收信息并进行加工。发散思维还与情感有密切关系。如果思维者能够想办法激发兴趣，产生激情，把信息情绪化，赋予信息以感情色彩，会提高发散思维的速度与效果。，求ｘ＋ｙ的最小值。 分析1: 均值不等式法 解法1： 注意：此题答案有误。因为⑴，⑵式的等号不能同时成立，所以⑶式等号不能取。但事实上推导过程无误，只不过扩大了ｘ＋ｙ的范围。此种推导在选择题时，其选择项若是6，8，12，16，当可排除6，8，12得16。 此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。 分析2: “1”的妙用 解法2: 分析3：构造x+y不等式法 解法3： 不等式是中学数学重点内容之一，它与函数、方程、复数、集合以及三角、几何、解几等都有广泛而紧密的联系。所以，不等式证明问题，可以围绕题设与结论之间的关系，引导学生进行对比，透过现象看本质，多角度、多方向去思考问题，通过揭示沟通各类知识的内在联系的纽带，恰当地构造出理想的辅助工具进行 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 （1）当＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当＝0时，方程有两个相等的实数根； （3）当＜0时，方程没有实数根． （1）和（2）合起来：当≥0时，方程有两实数根． 上面结论反过来也成立．可以具体表示为：的范围也可用判别式法。 分析6：三角代换法 解法6： 变：0x1,a0,b0，则