2.2命题与证明第三课时（16张）.pptVIP

湘教版SHUXUE八年级上 本节内容 2.2 a b a b 动脑筋 判断一个命题是不是真命题需要讲道理，讲道理的过程叫证明。 如何证明？ 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个推理的过程叫作证明。 怎样判断一个命题是真命题？ 如图，线段a、b一样长吗？ 图中两个正方形哪个大？ 观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论. 直观是重要的,但它有时也会骗人. 做一做 采用剪拼或度量的方法， 猜测“三角形的外角和” 等于多少度. 从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360° ，但是剪拼时难以真正拼成一个周角， 只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得360°． 另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°．此时猜测出的命题仅仅是一种猜想， 未必都是真命题．要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明. 第一步： 根据题意，画出图形； 证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题. 动脑筋 第二步： 结合图形，写出已知求证； 已知： ∠BAF， ∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角. 求证： ∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°. 第三步： 写出证明过程，并且步步有依据。 证明:如图， ∵∠BAF=∠2+∠3， ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质). ∠CBD=∠1+∠3， ∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理）， ∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)， ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°. 经过刚才三站的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？ （1）根据题意，画出图形。 （2）结合图形，写出已知求证 （3）写出证明过程，并且步步有依据。 结论 依据 (定义)(定理)(推论)(基本事实) （真命题） 条件 结论 数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立. 证明的每一步都必须要有根据. 推理 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC. 求证：AE∥BC. 举 例 证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理）， ∠B=∠C（已知）， ∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）. 又∵AE平分∠DAC（已知）， ∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义） ∴∠DAE=∠B（等量代换）. ∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行） 例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°. 分析 这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明. 证明 假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60° 即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°， 则∠A+∠B+∠C＜180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾， 所以假设不正确. 因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°. 像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法. 反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”. 反证法的步骤： 假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 结论 (1).证明命题：一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，则这两个角相等。 已知：如图，AB∥A’B’,BC∥B’C’. 求证：∠B= ∠B’ 证明：∵ AB∥A’B’ （ ） ∴ ∠ B’ = ∠α（ ） ∵ BC∥B’C’ （ ） ∴ ∠ B = ∠α（ ） ∴ ∠ B = ∠B’ ( ) 已 知 两直线平行，同位角相等 已 知 两直线平行，同位角相等 等量代换 练习 1. 在括号内填上理由. (2).已知：如图，∠A+∠B= 180°. 求证：∠C+∠D= 180°. 证明：