2.5.2矩形的判定.pptVIP

2.5.2 矩形的判定 矩形的四个角都是直角，那么，四个角是直角的四边形 是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？  如图，四边形ABCD的四个角都是直角.由于“同旁内角互 补，两直线平行”，因此AB∥DC,AD∥BC,从而四边形ABCD 是平行四边形.所以□ABCD是矩形.由此得到四个角是直角的 四边形是矩形. 三个角是直角的四边形，容易知道另一个角是 直角，由此得到： 从“矩形的两条对角线相等且互相平分” 这一性质受到启 发，你能画出一个对角线长度为4cm的矩形吗？这样的矩形 有多少个？  如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平 分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题 抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 我们来进行证明. 在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. 又∵∠ABC+∠DCB=180°， ∴∠ABC=90°. ∴□ABCD是矩形. 由此得到矩形的判定定理： 议一议： 对角线相等的四边形是矩形？ 例 如图，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O. （1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？ （2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？ 解 （1）∵□ABCD是矩形， ∴AC与DB相等且互相平分. ∴OB= DB= AC=OC. ∴△OBC是等腰三角形.  （2）∵△OBC是等腰三角形，其中OB=OC， ∴AC=2OC=2OB=BD. ∴□ABCD是矩形. 练习 1.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D,求证： 四边形ABCD是矩形. 解：∵∠A=∠B=∠C=∠D, 且∠A+∠B+∠C+∠D=360°, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∴四边形ABCD是矩形.  2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O,∠AOB=60°，AB=2，AC=4，求□ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO= AC=2. ∵∠AOB=60°，AB=2, ∴△AOB是等边三角形. ∴OB=OA=OD=OC. ∴□ABCD是矩形. ∴∠ABC=90°. ∴ ∴矩形ABCD的面积是2× =4 .  这节课我们学习了矩形的判定： 1.三角形是直角的四边形是矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. * * 动脑筋 三个角是直角的四边形是矩形. 四边形中只有两个角是直角三角形， 我想到右边的图形： 过点O画两条线段AC,BD，使得OA=OC=2cm.OB=OD=2cm.连接AB,BC,CD,DA.则四边形ABCD是矩形，且它的对角线长度为4cm，如图，这样的矩形有无穷多个. 你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？ 动脑筋 对角线相等的平行四边形是矩形. *