201110253.1.1方程的根与函数的零点.pptVIP

引申:二次函数 的图象和相应一元二次方程 的根有何关系? 判别式 ?＞0 ?＝0 ?＜0 方程 的根 两不相等实数根 x1,x2 一个交点(x1,0) 没有交点 二次函数 的图象与x轴的交点 两个交点(x1,0) (x2,0) 两相等实数根x1=x2 没有实数根 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点． 函数的零点 思考：函数 的图象与 轴的交点和相应的方程 的根有何关系？ x 结论: 方程f (x)＝0有实数根 ?函数y＝f (x)的图象与x轴有交点 ?函数y＝f (x)有零点 方程 的根是函数 的图象与 轴的交点的横坐标 由此可知，求方程 的实数根，就是求函数 的零点。对于不能用公式法求根的方程 来说，可以将它与函数 联系起来， 利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根 注意：函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标！ 零点对于函数而言，根对于方程而言． 观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： 在区间[-2，1]上有零点______； f(-2)=_______，f(1)=_______， f(-2)·f(1)___0(“＜”或“＞”)． 在区间(2，4)上有零点______； f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）． －1 －4 5 3 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 y 探究： 如何求函数的零点？ x y O a b c d 思考：观察图象填空，在怎样的条件下， 函数 在区间 上存在零点？ 有 有 有 ①在区间(a,b)上f(a)·f(b)____0(“＜”或“＞”)． 在区间(a,b)上______(有/无)零点； ②在区间(b,c)上f(b)·f(c) ___0(“＜”或“＞”)． 在区间(b,c)上______(有/无)零点； ③在区间(c,d)上f(c)·f(d) ___0(“＜”或”＞”)． 在区间(c,d)上____(有/无)零点； 结论 x y O a b c 例1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f(a) ·f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零 点.（ ） （2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f(a) ·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ） （3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ） 解：（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且 f (a)·f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ） a b O x y 如图, 函数y=f(x)在区间[a,b]上有3个零点,“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的. （2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a)· f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ） a b O x y 可知，函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a)· f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。 如图, （3）已知函数y=f(x)在区间[a,b] 满足f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ） a b O x y 虽然函数y=f(x)在区间[a,b] 满足f(a)·f(b) 0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点. 如图, 练习2、若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是 连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有 零点，则f(a)·f(b)的值( ) A、大于0 B、小于0 C、无法判断 D、等于零 练习1、函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（ ) A.(-2，-1) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) C B 由表可知f(2)0，f(3)0， 由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点． 用计