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第3章 一元一次方程
3.1 建立一元一次方程模型
1.了解什么是方程、一元一次方程、方程的解.
2.体会用字母表示数的好处,画示意图有利于分析问题,找相等关系是列方程的重要一步,从算式到方程(从算式到代数)是数学的一大进步.
3.会将实际问题抽象为数学问题,并建立一元一次方程模型.
4.会检验方程的解.
如图是一长方体形的电视包装盒,它的底面宽为1米,长为1.2米,且包装盒的表面积为6.8平方米.你能算出这个电视机包装盒的高吗?
分析:如果设这个电视机包装盒的高为x米,你能用一个代数式表示这六个长方形的面积和吗?
(2x+2.4x+2.4)平方米
我们知道这个包装盒的表面积为6.8平方米,你能列出一个关于x的等式吗?
2x+2.4x+2.4=6.8
在等式2x+2.4x+2.4=6.8中,2,2.4,6.8叫做已知数,字母x表示的数,在解决这个问题之前还不知道,把它叫做未知数.我们把含有未知数的等式叫做方程.
像所出示的问题一样,把所要求的量用字母x(或y,…)表示,根据问题中的等量关系列出方程,这一过程叫做建立方程.
你知道什么叫方程吗?
含有未知数的等式—方程
你能举出一些方程的例子吗?
【跟踪训练】
1.判断下列式子是不是方程,是的打“√”,不是的”×”.
(1)1+2=3 ( ) (4) ( )
(2)1+2x=4 ( ) (5)x+y=2 ( )
(3)x+1-3 ( ) (6)x2-1=0 ( )
×
×
×
√
√
√
2.根据下列条件, 列出方程.
(1)x的2倍与3的差是5;
(2)x的三分之一与y的和等于4.
3.根据下面问题,设未知数,列出方程.
环形跑道一周长400 m ,沿跑道跑多少周,
可以跑3 000 m?
2x-3=5
解:设沿跑道跑x周,由题意得:400x=3 000.
(2)2x-3=5;
(3) +y=4;
(4)400x=3000.
(1)2x+2.4x+2.4=6.8;
观察上述方程,每个方程有几个未知数?每个未知数的次数是多少?
思考
一元一次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,我们把这样的方程叫做一元一次方程.
一元一次方程需满足的条件:①一个未知数;②未知数的次数是1;③未知数的系数不为0.
一元一次方程的一般形式:ax+b=0(a≠0)
1.判断下面的方程是不是一元一次方程.
【跟踪训练】
2.根据下列问题,设未知数并列出方程.
(1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少?
解:设正方形的边长为x cm,
根据题意得:4x=24
变式:用一根长24 cm的铁丝围成一个长方形,使它的长是宽的1.5倍,长方形的长,宽各是多少?
解:设长方形的宽为x cm,则它的长为1.5x cm,
根据题意得:2(x+1.5x)=24
(2)一台计算机已用了1 700小时,预计每月再使用150小时,经过多少月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2 450小时?
解:设x月后这台计算机的使用时间达到2 450小时,
那么在x月里这台计算机使用了150x 小时,
根据题意得:1 700+150x=2 450
(3)某校女生占全体学生的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生?
解:设这个学校的学生为x人,那么女生为52%x人,
男生为(1-52%)x人.
52%x=(1-52%)x+80
填空
1.4×( )=24 2.2 ×( )-1=5
如:列方程①4x=24 ②2x-1=5
当x为何值时,等号左、右两边相等?
通过观察可知:①当x=6时;②当x=3时,上面的式子成立.
像这样,能使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解.
思考
一般地,要检验某个值是不是方程的解,可以用这个值代替未知数代入方程,看方程左、右两边的值是否相等.
任取x的值
1 700+150x=2 450
得方程的解
不成立
成立
代入
求方程的解的过程叫做解方程.
检验下列x的值是否是方程x-3=2x-8的解.
解:(1)把x=5代入原方程得,
左边=5-3=2,
右边=2×5-8=2.
左边=右边.
所以x=5是方程x-3=2x-8的解.
(1)x=5 (2)x=-2
请同学们自己完成(2)
【例题】
检验一个数值是不是方程的解的步骤:
1.将数值代入方程左边进行计算,
2.将数值代入方程右边进行计算,
3.比较左右两边的值,若左边=右边,则是方程的解.反之,则不是.
归纳:
请你判断下列给定的t的值中,哪个是方程2t+1=
7-t的解?
根据方程的解的定义,我们得到t=2是方程2t+1
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