电子系14级 信号与系统第2章.ppt

五、全响应 例2.1-7：描述某LTI系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=1，f(t)=ε(t)。求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t)满足 yzi”(t) + 3yzi’(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi’(0+)= yzi’(0-)= y’(0-)=1 该齐次方程的特征根为–1， – 2，故 yzi(t) = C1e –t + C2e –2t 代入初始值并解得系数为C1=5 ,C2= – 3 ，代入得 yzi(t) = 5e –t – 3e –2t ,t ≥0 （2）零状态响应yzs(t) 满足 yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有 yzs(0-) = yzs’(0-) = 0 由于上式等号右端含有δ(t)，故yzs”(t)含有δ(t)，从而yzs’(t)跃变，即yzs’(0+)≠yzs’(0-)，而yzs(t)在t = 0连续，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，积分得 [yzs’(0+)- yzs’(0-)]+ 3[yzs(0+)- yzs(0-)] +2 因此，yzs’(0+)= 2 – yzs’(0-)=2 对t0时，有 yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 6 不难求得其齐次解为C3e-t + C4e-2t，其特解为常数3， 于是有 yzs(t)=C3e-t + C4e-2t + 3 代入初始值求得 yzs(t)= – 4e-t + e-2t + 3 ，t≥0 （3）全响应y (t) t≥0 ：确定全响应的系数 ：确定零输入响应的系数 ：确定零状态响应的系数 五、全响应 LTI系统的全响应可以分解为自由响应和强迫响应，也可分解为零输入响应和零状态响应。 两种分解方式的区别：虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但二者系数各不相同。零输入响应仅由系统的初始状态所决定，而自由响应由系统的初始状态和激励信号共同决定。 在初始状态为0时，零输入响应为0，但在激励信号的作用下，自由响应并不为0。即，自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。 2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 δ(t) LTI系统 ｛x(0-)=0} h(t) 例2.2-1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。 解 根据h(t)的定义 有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得 [h’(0+) - h’(0-)] + 5[h(0+) - h(0-)] + 6 = 1 考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h’(0+) =1 + h’(0-) = 1 对t0时，有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应为一齐次解。 微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)ε(t) 代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以 h(t)=( e-2t - e-3t)ε(t) 例2.2-2 描述某二阶LTI系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 解 根据h(t)的定义 有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0