2.回 顾.ppt

共 54 页 本 章 回 顾 知识结构 (学生用书P53) 方法总结 (学生用书P53) 1.数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知识去解决,体现了函数思想,数形结合的思想. 2.等差(等比)数列中,a1,an,n,d(q),Sn“知三求二”,体现了方程(组)的思想,整体思想,有时用到换元法. 3.求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1,公比是字母时要进行讨论,体现了分类讨论的思想. 4.数列求和的基本方法有:公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化法. 数学思想 (学生用书P53) 例2:已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1), 数列{an}满足a1=2,(an+1-an)g(an)+f(an)=0. (1)用an表示an+1; (2)求证:{an-1}是等比数列. 解:(1)∵f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1), ∴f(an)=(an-1)2,g(an)=4(an-1), 又(an+1-an)g(an)+f(an)=0, ∴4(an+1-an)(an-1)+(an-1)2=0, ∴(an-1)(4an+1-3an-1)=0, ∵a1=2,∴an≠1, ∴4an+1-3an-1=0,∴an+1 2.等价转化思想 解:(1)解法一:设等差数列{an}的公差为d,则依题意知d0. 由a2+a7=16,得2a1+7d=16.① 由a3·a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55.② 由①得2a1=16-7d,将其代入②得(16-3d)(16+3d)=220,即256-9d2=220. ∴d2=4.又d0,∴d=2.代入①得a1=1. ∴an=1+2(n-1)=2n-1. 3.分类讨论思想 例4:数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*). (1)求数列的通项公式; (2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn. 解:(1)∵an+2-2an+1+an=0. ∴an+2-an+1=an+1-an, ∴{an}是等差数列. 又a1=8,a4=a1+3d=2,∴d=-2. ∴an=10-2n. (2)∵an=10-2n,∴当n≤5时,an≥0, 当n5时,an0. ∴当a≤5时, Sn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+an ·n =-n2+9n. 当n5时, Sn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an| =(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an) =2(a1+a2+…+a5)-(a1+a2+…+an) =2×(-52+9×5)-(-n2+9n) =n2-9n+40. 专题一 数列的通项公式的求法 1.观察归纳法 就是观察数列的特征,横向看各项之间的关系结构,纵向看各项与项数n的内在联系,从而归纳出数列的通项公式. (4)各项可看作21=2×10+1,203=2×100+3,2005=2×1 000+5,20 007=2×10 000+7. ∴数列的通项公式为an=2×10n+(2n-1). 2.公式法 数列符合等差数列或等比数列的定义,求通项时,只需求出a1与d或a1与q,再代入公式an=a1+(n-1)d或an=a1\5qn-1中即可. 4.累加法 例9:已知数列{an}满足an+1=an+3n+2且a1=2,求an. 6.构造法 例11:已知a1=3,an+1=2an+3,求an. 分析:本题给出了an和an+1的线性函数,故可用待定法确定式子an+1+c=2(an+c)中的常数c,从而说明{an+c}为等比数列,进而可求得an. 解:解法一:由an+1=2an+3,得an+1+3=2(an+3). 令an+3=bn,∴bn+1=2bn. ∴{bn}是等比数列,其首项b1=a1+3=6,公比为2. ∴bn=6×2n-1,即an+3=6×2n-1. ∴an=6×2n-1-3=3(2n-1). 解法二:∵an+1=2an+3, ∴n≥2时,有an=2an-1+3. ∴an+1-an=2(an-an-1). 令bn=an+1-an,∴bn=2bn-1. ∴{bn}是公比为2的等比数列,首项b1=a2-a1=6. ∴bn=6×2n-1. 专题二 数列求和的常用方法 2.错位相减法求和 针对数列{anbn}的数列求和应用此法,其中数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列. 例13:求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn(x≠0). 分析:由式子特点两边同乘x,然后相减即得一等比数列的求和问题,但应注意公比的讨论. 3.并项法 当通项公式中含有(-1)n,求和时,可通过对n奇偶性的讨论,分情况求和. 例14:已知数列-1,