专题三 递推数列求通项题型归类归法.docVIP

专题三 递推数列题型归类归法 四川省双流中学 王 林 2015-5-11 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．前期学习中总结表明：转化化归的数学思想是求复杂问题主导，序号处理是易错点．下面总结出几种求解数列通项公式的方法，希望大家落实过手．类型 方 法 累加法(逐差相加法)把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解. 例1已知数列满足，，求．由条件知：，分别令，代入上式得个等式累加之，即 ，所以，，已知数列满足，，求．已知数列中，且其中1,2,3,……. （1）求；（2）求的通项公式．类型 方 法 累法(逐相法)把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解． 例2已知数列满足，，求． 由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又， 规律： 【变式已知数列，满足a1=1， (n≥2)，的通项满足，求 2、正项数列中，，，求 类型三 （其中p，q均为常数，）方法1 辅助数列法 用待定系数法把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解．方法2 辅助数列法求出的通项用累加法求（转化为类型1） 比较以上两种方法，用解法1快捷。 【例3已知数列中，，，求．已知数列满足 （Ⅰ）求数列的通项公式； （II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列； （Ⅲ）证明：类型 （其中p均为常数，）辅助数列法，与已知递推式比较，解出，从而转化为是公式为的等比数列（前提是首项不为0） 【例4】设数列满足，求数列的通项公式类型 （其中p，q均为常数，）．方法1 辅助数列法 一般地，先在递推公式两边同除以，得，引入辅助数列（其中），得，转化为一阶线性递推数列求解。 方法2 辅助数列法，得，引入辅助数列（其中），得，再用累加法求解 【例5已知数列中，,，求． 设数列的前项的和， （Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明： 类型（其中均为常数）．辅助数列法 【例（06福建）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式； （I）证明： 是以为首项，2为公比的等比数列 （II）解：由（I）得 　　 类型递推公式为与的关系式(或)一般利用与消去 或与消去进行求解． 例6已知数列前n项和. （1）求与的关系； （2）求通项公式.的前项的和为满足，. （1）证明：数列为等差数列；（2）求的通项公式. 【提升】（2013江西（理））正项数列的前项和满足:(1)求数列的通项公式(2)令,数列的前项和为.证明:对于任意的,都有(1)解:由,得. 由于是正项数列,所以. 于是时,. 综上,数列的通项. (2)证明:由于. 则. 设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 求数列的通项公式;(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.（2013广东（理））(1) 解: ,.当时,,∴ (2)解: ,. ① 当时, ②由① — ②,得 数列是以首项为,公差为1的等差数列. 当时,上式显然成立. (3)证明:由(2)知,①当时,,原不等式成立.②当时, ,原不等式亦成立.③当时, 当时,,原不等式亦成立.综上,对一切正整数,有. —8—