切线长定理及其应用.docVIP

【本讲教育信息】 一. 教学内容： 切线长定理及其应用 ? 二. 重点、难点： 重点：切线长定理以及应用 难点：切线长定理的题设、结论 ? 三. 具体内容： ? 1. 切线长：经过圆外一点向圆引两条切线，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长。 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两切线的夹角。 ? 【典型例题】 [例1] 如图，⊙O分别切△ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BC=a，CA=b，AB=c，（1）求AD、BE、CF的长；（2）若∠C=90°，求△ABC内切圆半径r。 解：（1）∵ ⊙O切△ABC三边AB、BC、CA于D、E、F ∴ AD=AF，BD=BE，CE=CF ∴ ∵ BC=a，CA=b，AB=c ∴ 同理?? （2）连结OE、OF ∵ ⊙O与AB、BC切于D、E?? ∴ OE⊥BC，OF⊥AC ∵ ∠C=90°?? ∴ 四边形OECF为矩形 又∵ OE=OF?? ∴ 四边形OECF为正方形 ∴ OE=OF=CE=CF 由（1）知 ∴ 内切圆半径 ? [例2] 如图，⊙O切△ABC的边BC于D，切AB、AC延长线于E、F，△ABC的周长为18，求AE。 解：由已知得CF=CD，BD=BE，AE=AF ∴ AB+AC+BC=AB+AC+CD+BD ???????????? =AB+AC+CF+BE=AE+AF=2AE ∵ △ABC周长为18??? ∴ ? [例3] 如图，在中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB为半径作⊙D，求证：（1）AC是⊙O切线；（2）AB+EB=AC。 证明：（1）作DF⊥AC于F ∵ AD平分∠BAC?? ∴ DB=DF ∴ AC切⊙D于F （2）由（1）知，AC切⊙D于F 又∵ ∠B=90°?? ∴ AB切⊙D于B?? ∴ AB=AF 又在和中 ∴ ∴ CF=BE?? ∴ AC=AF+CF=AB+EB ? [例4] 如图，CB、CD与⊙O切于B、D，AB为⊙O直径，⊙O半径为r。求证：AD//OC。 证明：连结OD ∵ CB、CD切⊙O于B、D ∴ OD⊥CD，OB⊥CB，∠1=∠2 ∴ ∠3=∠4 ∵ OA=OD??? ∴ ∠A=∠5 ∵ ∠BOD=∠3+∠4=∠A+∠5 ∴ 2∠3=2∠5? ??∴ ∠3=∠5 ∴ AD//OC ? [例5] 如图，两同心圆O，PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点，求证：AC=BD。 证明：连结PO ∵ PA、PB为大圆切线?? ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO 又∵ PC、PD为小圆切线 ∴ PC=PD，∠CPO=∠DPO ∴ ∠APC=∠APO－∠CPO=∠BPO－∠DPO=∠BPD ∴ 在△PAC和△PBD中 ∴ △PAC≌△PBD?? ∴ AC=BD ? [例6] 如图，AB是⊙O直径，AD、BC、CD切⊙O于A、B、E，求证：OC⊥OD。 证明：∵ AD、BC、CD切⊙O于A、B、E ∴ DO平分∠ADE，CO平分∠BCE ∴ ∠1=∠2=∠ADE，∠3=∠4=∠BCE ∵ AB是⊙O的直径，AD、BC切⊙O于A、B ∴ AB⊥AD，AB⊥BC?? ∴ AD//BC ∴ ∠ADC+∠BCE=180° ∴ ∠2+∠4=∠ADE+∠BCE=（∠ADE+∠BCE）=90° ∴ ∠COD=90°?? ∴ OC⊥OD ? 【模拟试题】 ? 1. 如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，D为上一点，且∠A=70°，则∠BDC=（??? ） A. 250°??????? B. 120°??????? C. 125°??????? D. 115° 2. 如图，PQ、PR、AB是⊙O的切线，切点分别为Q、R、S，若∠APB=40°，则∠AOB=（??? ） A. 50°????????? B. 60°????????? C. 70°????????? D. 80° 3. 如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，AB=20，DE是⊙O的切线与AB、AC分别交于D、E两点，则△ADE的周长是（??? ） A. 20???????????? B. 40????????????? C. 60???????????? D. 80 4. PA、PB分别切⊙O于A、B，DE切⊙O于C，DE分别交线段PA、PB于D、E；若⊙O半径长为6cm，PO的长为10cm，则△PED的周长为????????? 。 5. 已知：⊙O的半径为4cm，PO=8cm，则过P点的⊙O的两条切线长为??????? cm；这两条切线的夹角为??????? 。 6.