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最优控制器也是由两部分组成,一部分是状态最优估计器;另一部分是最优控制规律。 图5-5 最优调节器结构图 其设计也可分为两个独立的部分:一是将系统看作确定性系统;二是考虑随机的过程干扰 v 和量测噪声w,设计状态最优估计器。 1 最优控制规律设计 有限时间最优调节器设计 设连续被控对象的离散化状态方程为 初始条件 给定二次型性能指标函数 线性二次型最优控制的任务是寻求最优控制序列 (k=0,1,…,N-1),在把初始状态x(0) 转移到x(N) 的过程中,使性能指标函数最小。 求解二次型最优控制问题可采用变分法、动态规划法等方法。这里采用离散动态规划法来进行求解。 动态规划法的基本思想是:将一个多级决策过程转变为求解多个单级决策优化问题,这里需要决策的是控制变量 (k=0,1,…,N-1)。令二次型性能指标函数 其中:i=N-1、N-2、…、0。 下面从最末一级往前逐级求解最优控制序列。 首先求解 ,以使 最小。求 对u (N-1) 的一阶导数并令其等于零: 由上式和连续被控对象的离散化状态方程,有 进一步求得最优的控制决策为 其中 得 依次,可求的 、 、…、 。 、…、 其中 计算 公式归纳: 最优性能指标为 满足上式的最优控制一定存在且是唯一的。 其中 利用以上公式可以逆向递推计算出S (k)和L (k)。 无限时间最优调节器设计 设被控对象的状态方程为 当N→∞时,其性能指标函数简化为 其中 是非负定对称阵, 是正定对称阵。假定[F,G]是能控的,且[F,D]是能观的,其中D为能使DTD=Q1成立的任何矩阵。 计算机控制系统的最优设计,最经常碰到的是离散定常系统终端时间无限的最优调节器问题。当终端时间N→∞时,矩阵S?(k) 将趋于某个常数,因此可得到定常的最优反馈增益矩阵L,便于工程实现。 存在,且是与 无关的常数阵。 或: 的解,那么对于任何非负定对称阵 ,有 ①设S?(k)是如下的黎卡堤(Riccati)方程 可以证明有以下几点结论: ③ 稳态控制规律 是使上面性能指标函数J极小的最优反馈控制规律,最优性能指标函数为 ④ 所求得的最优控制规律使得闭环系统是渐近稳定。 ② S是如下的黎卡堤代数方程 或: 的唯一正定对称解 。 该结论说明了:当满足上述结论中所给条件时,最优的反馈控制规律是常数阵;并且使得闭环系统是渐近稳定的。同时该结论也指出了计算最优反馈控制规律的途径,它既可以通过直接黎卡堤代数方程求解,也可以通过迭代法解黎卡堤差分方程求得。同时也可以看出,结论条件“是正定对称阵”可以放宽到“是正定对称阵”。 例7-4 考虑离散系统: 其中: 设计最优控制器,使性能指标: 最小。 解 选 和 , 。 通过MATLAB仿真,可解得两种情况下的最优反馈增益矩阵为: (a) 权矩阵 较小的情况 (b) 权矩阵 较大的情况 * 第七章 计算机控制系统的 离散状态空间设计 本章主要内容: 状态空间描述的基本概念 2 采用状态空间模型的极点配置设计 3 采用状态空间模型的最优化设计 状态空间设计法是建立在矩阵理论基础上、采用状态空间模型对多输入多输出系统进行描述、分析和设计的方法。用状态空间模型能够分析和设计多输入多输出系统、非线性、时变和随机系统等复杂系统,可以了解到系统内部的变化情况。并且这种分析方法便于计算机求解。 7.1 状态空间描述的基本概念 1 . 离散时间系统的状态空间描述 设连续的被控对象的状态空间表达式 在 作用下,系统的状态响应为 其中 为系统的状态转移矩阵。取 , ,考虑到零阶保持器的作用,有 则 (5-1-1) (5-1-2) (5-1-3) (5-1-4) 作变量置换,令: 由此可得系统连续部分的离散化状态空间表达式 其中: 式中: 为 维状态向量, 为
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