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名校真题 测试卷11 (数论篇二)
时间:15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________
1 (06年清华附中考题)
有3个吉利数888,518,666,用它们分别除以同一个自然数,所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
2 (06年三帆中学考题)
140,225,293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的余数是 .
(03年人大附中考题)
某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是______.
4 (04年101中学考题)
一个八位数,它被3除余1,被4除余2,被11恰好整除,已知这个八位数的前6位是257633,那么它的后两位数字是__________。
5 (06年实验中学考题)
(1)从1到3998这3998个自然数中,有多少个能被4整除?
(2)从1到3998这3998个自然数中,有多少个各位数字之和能被4整除?
【附答案】
1 【解】:处理成余数相同的,则888、518-7、666-10的余数相同,这样我们可以转化成同余问题。这样我们用总结的知识点可知:任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是888-511=377的约数,又是888-656=232的约数,也是656-511=145的约数,因此就是377、232、145的公约数,所以这个自然数是29。
2 【解】:这样我们用总结的知识点可知:任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是293-225=68的约数,又是225-140=85的约数,因此就是68、85的公约数,所以这个自然数是17。所以2002除以17余13。
3 【解】:“加上3后被3除余1”其实原数还是余1,同理这个两位数除以4、5都余1,这样,这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
4 【解】:设后面这个两位数为ab,前面数字和为26除以3余2,所以补上的两位数数字和要除以3余2。同理要满足除以4余2;八位数中奇数位数字和为(2+7+3+a),偶数位数字和为(5+6+3+b)这样要求a=b+2,所以满足条件的只有86。
5 【解】1、[]=999个。
2、对于每一个三位数×××来说,在1 ×××、2×××、3 ×××和4×××这4个数中恰好有1个数的数字和能被4整除.所以从1000到4999这4000个数中,恰有1000个数的数字和能被4整除.
同样道理,我们可以知道600到999这400个数中恰有100个数的数字和能被4整除,从200到599这400个数中恰有100个数的数字和能被4整除.
现在只剩下10到199这190个数了.我们还用一样的办法.160到199这40个数中,120到159这40个数中,60到88这40个数中,以及20到59这40个数中分别有10个数的数字和能被4整除.而10到19,以及100到1t9中则只有13、17、103、107、112和116这6个数的数字和能被4整除.
所以从10到4999这4990个自然数中,其数字和能被4整除的数有1000+100×2+10×4+6=1246个.
[方法二]:
解:第一个能数字和能够被4整除的数是13,最后一个是4996,这中间每4位数就有一个能够满足条件,所以4996-13=49
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