高二抛物线（理）数学（理）人教实验版（A）知识精讲.doc

高二抛物线（理）数学（理）人教实验版（A） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 抛物线 二. 重点、难点： 1. 定义：平面内到定点F与到定直线距离相等的点的轨迹为抛物线。 2. 标准方程：， 3. 性质： （1）对称性：关于x轴对称，关于y轴对称 （2）顶点：（0，0） （3）离心率： 4. 参数方程： （为参数） 【典型例题】 [例1] 求焦点在直线上的抛物线标准方程。 解： 与坐标轴交点为（4，0）（0，） ∴ 所求抛物线方程 [例2] 焦点在轴的抛物线与圆相交，它们在轴上方交点为A、B，线段AB的中点在直线上，求抛物线的方程。 解： ① 方程的根为负数与矛盾 ② 方程的根为正数与矛盾 ∴ A B（） ? AB中点（，） 若中点在上 ∴ [例3] P为平面上一点，过P作与抛物线只有一个交点的直线可以作几条？ 解： ① 只有一条 ② 在曲线上 只有两条 ③ 只有三条 [例4] 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线方程。 解： 或 ∴ 或 [例5] 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B，求证：。 证明： ① 斜率不存在，， ② 斜率存在 [例6] O为原点，A、B为抛物线，上两点，并且OA⊥OB，① 求最小值；② 弦AB中点M到直线距离最小值。 解： ① ： ： （） ② A（） B（） ∴ M（） （M，） [例7] 求证：抛物线的两弦平行的充要条件是两弦中点的连线斜率为0。 证明： 设A（，）B（，）C（，）D（，）在抛物线上 AB中点M（，）N（，） ① 若轴显然成立 ② AB、CD均不垂直于轴 同理： ∴ ∴ [例8] 抛物线（）的焦点F，过F的弦AB长为，O为原点，求。 解： ① AB斜率不存在 ② AB斜率存在，设为 综上所述 [例9] 抛物线上，存在 P、Q两点，并且P、Q关于直线对称，求的取值范围。 解： 方法一：设P（，）Q（，） ∴ ∴ ∴ ∴ 方法二： ∴ 在形内 [例10] 已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）。过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。 （1）证明·为定值； （2）设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值。 解：（1）由已知条件，得F（0，1），λ＞0 设A（x1，y1），B（x2，y2） 由＝λ 即得（－x1，1－y）＝λ（x2，y2－1） 将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③ 解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y＝x1（x－x1）＋y1，y＝x2（x－x2）＋y2 即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22 解出两条切线的交点M的坐标为（，）＝（，－1） 所以·＝（，－2）·（x2－x1，y2－y1）＝（x22－x12）－2（x22－x12）＝0 所以·为定值，其值为0 （2）由（1）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM| |FM|＝＝ ??＝ ??＝＝＋ 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以 |AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝（＋）2 于是S＝|AB||FM|＝（＋）3 由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4 【模拟试题】 1. 抛物线的焦点F，准线交轴于R，过抛物线上一点P（4，4）作PQ⊥于Q，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 2. 抛物线与椭圆的公共弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知A、B是抛物线上两点，O为原点，若且的垂心恰为抛物线的焦点，则AB的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线与直线交于两点，它们横坐标为，，直线与轴交点为（）则，，关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知动点P（，）满足，则P点轨迹为（ ） A. 抛物线 B. 直线 C. 双曲线 D. 椭圆 6. 两定点A（，），B（2，）动点P在抛物线上移动，则垂心G的轨迹方程为（ ） A. B. C. D