高二数学 已知三角函数值求角 ppt.ppt

1.3.3 已知三角函数值求角 1.已知正弦值，求角 * * 我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角。 例1、已知 sinx= ， （1）若 ，求x； （2）若 ，求x； （3）若 x∈R，求x的取值集合。 (1) 若 ，求x； 解：因为 ，所以x是第一或第二象限的角，由正弦函数的图象知道sin = 或sin = . 得在 时，x= (2) 若 ，求x； 解得x1= ，x2= . （3）若 x∈R，求x的取值集合。 比较（1），（2）得x的取值集合是 由例1可知，在函数y=sinx的非单调区间上，对于一个已知的正弦值，有多个角和它对应，如在[0，2π]上，有两个角的正弦值都是 ，而在R上，有无穷多个角的正弦值都是 . 但在一个y=sinx的单调区间上，只有一个角和已知的正弦值对应，比如在区间 上，只有 的正弦值等于 一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知函数值y (y∈[－1, 1])，那么在 上有唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny (其中－1≤y≤1， ) 即arcsiny (|y|≤1)表示 上正弦等于y的那个角 在区间 上， 如果sinx= ,则x=arcsin = 如果sinx= 0 ,则x=arcsin 0 =0 如果sinx=0.3485, 则 x=arcsin0.3485. 如果sinx= ,则x=arcsin( )=－ 一般地，对于sinx=m (0m1)，则 x=2kπ+arcsinm，或x=2kπ+π－arcsinm. 如sinx=0.3， 则x=2kπ+arcsin0.3，或x=2kπ+π－arcsin0.3. 一般地，对于sinx=m (－1m0)，则 x=2kπ－arcsin(－m)，或x=2kπ+π+arcsin(－m). 如sinx=－0.3， 则x=2kπ－arcsin0.3，或x=2kπ+π+arcsin0.3. 例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π)，求x； （2）已知cosx=－ ，求x的取值集合； 解：（1）由于cosx=0.5，所以x是第一或第四象限的角. 因为cos =0.5，所以符合条件在第一象限的角x= . 由诱导公式知cos(2π－x)=cosx， 所以cos( )=cos =0.5， 即在第四象限，符合条件的角x= . （2）已知cosx=－ ，x不是特殊角，于是可以用反余弦来表示。 考察余弦函数知，函数y=cosx在区间[0，2π)上，对于y∈(－1，1)的任何一个值，有两个角与之对应. 如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯一值与之对应. 在区间[0，π]上符合条件cosx=y (－1≤y ≤1)的角x，记为x=arccosy， 于是cosx=－ ， x=arccos(－ )=π－arccos x在第二象限 若x在第三象限，则x=π+arccos 综上得满足cosx=－ 的角的集合是 反余弦举例： 若cosx=0.2，x在第一象限， 则x=arccos(0.2). 若cosx=0.2，x在第四象限， 则x=－arccos(0.2)或x=2π－arccos(0.2) 解集为{x| x=2kπ+arccos0.2, k∈Z} ∪ {x|x=2kπ－arccos0.2, k∈Z} 若cosx=－0.7，x在第二象限， 则x=arccos(－0.7)=π－arccos0.7. 若cosx=－0.7，x在第三象限， 则x=π+arccos(0.7) 解集为{x| x=2kπ+π－arccos0.7, k∈Z} ∪ {x|x=2kπ+π+arccos0.7, k∈Z} 例3. 已知tanx=