高二数学1.3 二项式定理人教实验版（B）知识精讲.doc

高二数学1.3 二项式定理人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 1.3 二项式定理 二. 教学目的： 1. 掌握二项式定理的相关知识及其应用 2. 发现杨辉三角形并研究其特点，并应用其简化某些问题的解决过程 三. 教学重点、难点： 重点：（1）二项式定理． （2）二项展开式的系数性质及应用． （3）杨辉三角形的特点及应用。 难点：二项式定理的应用． 四. 知识分析 （一）二项式定理 1. 二项式定理 对于，这个公式所表示出来的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有n＋1项，其中各项系数叫做展开式的二项式系数。展开式中的项叫做二项展开式的通项，通项是展开式的第r＋1项，即，这是二项展开式的通项公式。 二项式定理是一个恒等式．左边是二项式幂的形式，表示简单，右边是二项式的展开式，表示虽然复杂，但有规律，利用它解决问题时可根据需要而选择． 二项式定理中，a，b是任意的，．于是，我们可根据需要对a，b赋值，利用二项式定理来解决一些特殊问题． 例如取，就会得到； 取，就会得到；从而得到； 同学们可以继续思考：如果取又会有什么结论？ 2. 二项展开式 对于二项展开式主要应抓住如下特点： （1）它有n＋1项，是和的形式． （2）各项的次数都等于二项式的幂的次数n。 （3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n。 （4）各项的二项式系数依次为。 （5）注意二项式系数与二项展开式的系数的区别： 如在 中，各项的二项式系数就是，而各项的系数分别是，即1，10，40，80，80，32。 3. 对于通项公式应理解以下几点： （1）它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，它的展开式中的项，依赖于r。 （2）通项公式表示的是第r＋l项，而非第r项，r＋1是项数，r不是项数． （3）公式中二项式的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒，且它们的指数和一定为n。 4. 学习方法、解题技巧、思维方法 （1）二项式定理给出了展开式的“通项”公式：．这就为不展开多项式，求展开式中某一个特殊项提供了方法．这一特殊形式又为“概率”部分提供了准备． （2）二项式定理是对“完全平方”和“完全立方”公式的概括和推广，它是以乘法公式为基础，组合知识为工具，用不完全归纳法探索，用数学归纳法证明而得到的，对于这种由特殊到一般的思想方法应细细体会，掌握二项式定理，要从项数、系数、指数、通项几个特征去熟记它的展开式，特别要注意，展开式中第r＋l项的“二项式系数”与该项的“系数”是两个不同的概念，另外，（a＋b）n和（b十a）n的展开式中的第r＋1项是不同的． （3）由于二项式定理是用不完全归纳法得出的结论，可结合初中代数公式和多项式乘法的基础，以组合知识为工具，从中发现规律，领悟从“特殊到一般”的思想方法，即归纳法． （二）杨辉三角形 观察，（当n分别取1，2，3，4，5，……）的展开式的二项式系数，我们发现了杨辉三角形： 1. 通过观察杨辉三角形，我们发现了它的五个性质： （1）每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和；该性质对应着组合数的性质2： 。 （2）每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等；该性质对应着组合数的性质1：。 （3）如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且最大。 （4）观察下图，注意1＋2＋3＋4＋5＝15；1＋3＋6＋10＝20；1＋4＋10＝15；…… 都反映了一个有趣的结论： 如：（同学们，你们会证明吗？） （5）二项展开式的二项式系数的和等于2n，即 2. 学习中应注意的问题 （1）二项式系数的三条性质，即对称性（依据是）、增减性与最大值；各项系数的和为2n（即含n个元素的集合，子集的个数是2n），这是从整体上研究二项式系数的性质，而第三个性质又反映了特殊与一般的关系，是一种新的思想方法．应当指出的是，二项式系数与各项的系数是不同的，二项式系数专指组合数，都是正的；而各项的系数，指字母以外的内容． （2）二项式定理及其展开式系数的性质是解决许多数学问题的重要工具．杨辉三角反映了二项式系数的性质在 n 不大时可直接应用．对于二项式系数的性质，主要应掌握其对称性、增减性与最大值、各项的二项式系数和等． （3）对于整除或求余数（余式）问题，常常灵活配凑变形为有利于问题解决的二项式的形式；对于组合数的求和或简单的组合恒等式的证明问题，应灵活运用赋值法、构造法或逆用二项展开式，有时还需按 n 的奇偶性讨论． 3. 学习方法、解题技巧、思维方法 （1）二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路