高二数学二项式定理苏教版知识精讲.doc

高二数学二项式定理苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 二项式定理 二. 教学重点、难点： 1. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。 2. 掌握二项式系数的四个性质。 三. 知识要点： 1. 二项式定理及其特例： （1）， 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，它有项，各项的系数叫二项式系数，叫二项展开式的通项，用表示，即通项． （2）特例：． 2. 求常数的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 3. 二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 4. 二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）． 直线是图象的对称轴． （2） （3）增减性与最大值．∵， ∴相对于的增减情况由决定，， 当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值． （4）各二项式系数的和： ∵， 令，则 【典型例题】 例1. 展开．解一： ． 解二： ． 例2. 求的展开式中的倒数第项 解：的展开式中共项，它的倒数第项是第项， ． 例3. （1）求的展开式的常数项； （2）求的展开式的中间两项 解：（1）∵， ∴当时展开式是常数项，即常数项为； （2）的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项， ， 例4. 已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列， （1）证明展开式中没有常数项；（2 解：由题意：，即，∴舍去） ∴ ①若是常数项，则，即， ∵，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若是有理项，当且仅当为整数， ∴，∴ ， 即展开式中有三项有理项，分别是：，， 例5. 证明：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 证明：在展开式中，令，则， 即， ∴， 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知． 例6. 求证：． 证：（倒序相加）：设 ① 又∵　　　② ∵，∴， 由①＋②得：， ∴，即． 【模拟试题】 1. 求的展开式的第3项． 2. 求的展开式的第3项． 3. 写出的展开式的第r＋1的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数． 5. 的展开式中的有理项是展开式的第 项 6. （2x－1）5展开式中各项系数绝对值之和是 7. 展开式中系数最大的项是 8. 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ． [参考答案] http// 1. 2. 3. 4.展开式的第4项的二项式系数，第4项的系数 5. 3，9，15，21 2x－15展开式中各项系数绝对值之和实为（2x＋15展开式系数之和，故令x＝1，则所求和为35 7. （1＋3x＋3x2＋x310＝1＋x30中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16＝． ； 用心 爱心 专心 115号编辑