高二数学函数最值、导数应用题（理）人教实验版（A）.doc

高二数学函数最值、导数应用题（理）人教实验版（A） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 函数最值、导数应用题 二. 重点、难点： 1. 闭区间上的连续函数必有最值。 2. ，求的值，最大的为最大值，最小的为最小值。 3. 应用问题 （1）选定自变量x （2）选定函数值y （3）建立函数关系 （4）确定函数的定义域 （5）用导数求最值 【典型例题】 [例1] 求下列函数最值。 （1） 解：（舍） ∴ （2） 解： ∴ （3） ∴ ∴ [例2] ，函数，，求。 解： ∴ ∴ [例3] ，，求 解：（1） ∴ （2） ∴ 或－31 [例4] 已知a为实数，，（1）求导数；（2）若，求f（x）在[－2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（－∞，－2）和上都是增函数，求a的取值范围。 解：（1）因为 所以 （2）由，得，此时有 所以，由，得或，又因为 ，所以在[－2，2]上的最大值为，最小值为 （3）∵ 的图象为开口向上且过点（0，－4）的抛物线 由条件得，即，解得，所以a的取值范围为[-2,2] [例5] 已知函数在与x=1时都取得极值。 （1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对时，不等式恒成立，求c的取值范围。 解：（1）∵ ∴ 由，得 ∵ ∴ 当变化时，的变化情况如下表： x （－∞，） （，1） 1 （1，+∞） + 0 － 0 + f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ ∴ 函数f（x）的递增区间是（－∞，）和（1，+∞）；递减区间是（，1） （2）∵ 又 ∵ ， ∴ 为最大值，要使在恒成立 只需，解得或 [例6] 已知函数的图象在点M（）处的切线方程为 （1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。 解：（1）∵ ∴ 又 ∵ 函数的图象在点M（）处的切线方程为 ∴ ，即 解得（∵ 舍去） ∴ 所求函数解析式为 （2）∵ ∴ 令，解得 当或时， 当时， ∴ 在（）和（）内是减函数，在（，）内是增函数 [例7] 设函数，其中。 （1）若在x=3处取得极值，求常数a的值； （2）若f（x）在（－∞，0）上为增函数，求a的取值范围。 解：（1） ∵ 在取得极值 ∴ ，解得 经检验知时，x=3为f（x）为极值点 （2）令得 当时，若，则 在和上为增函数，故当时，在（－∞，0）上为增函数 当时，若，则 ∴ 在（）和（）上为增函数，从而当时，在上也为增函数 综上所述，当时，在（－∞，0）上为增函数 [例8] ，求证： 证：令 x （0，1） 1 （1，+∞） － 0 + y ↓ ↑ ∴ ∴ ，恒成立 ∴ [例9] 求抛物线上与点A（6，0）距离最近的点。 解：设M（x，y）为抛物线上一点， 则 ∵ 与2同时取到极值 ∴ 令 由得 ∵ 当或时，→+∞ ∴ f（x）→+∞ ∴ x=2是f（x）的最小值点，此时x=2，y=2，即抛物线上与点A（6，0）距离最近的点是（2，2） [例10] 请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如下图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 解：设OO1为xm，则1x4 由题设可得正六棱锥底面边长为：（单位：m） 故底面正六边形的面积为：（单位：m2） 帐篷的体积为：（单位：m3） 求导得，令 解得（不合题意，舍去） 当时，为增函数 当时，为减函数 ∴ 当时，V（x）最大 答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为 [例11] 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 析：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。 解：（1）当x=40千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时 要耗油（升） 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。 （2）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得（） ∵ 令，得 当时，是减函数；当x∈（80，120）时，，h（x）是增函数 ∴ 当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25 因为h（x）在上只有一个极值，所以它是最小值 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少