高二数学分类计数原理与分步计数原理习题课人教版知识精讲.doc

高二数学分类计数原理与分步计数原理习题课人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 分类计数原理与分步计数原理、排列 二. 教学重、难点： 1. 分类计数原理，分步计数原理 2. 【典型例题】 [例1] 有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码，一个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码，第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码。 （1）从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法？ 解： （1）任取一个小球的方法可分三类，一类取红球，有20种取法；一类取白球，有15种取法；一类取黄球，有8种取法。由分类计数原理共有20+15+8=43种不同取法。 （2）取三色小球各一个，可分三步完成，先取红球。有20种取法；再取白球，有15种取法；最后取黄球，有8种取法。由分步计数原理，共有种不同的取法。 [例2] 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ 解：分析个位数字，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1，2，3，……，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1，2，3，……，7中的一个，故有7个； 与上同样。 个位是7的有6个； 个位是6的有5个； …… 个位是2的只有1个。 由分类计数原理知，满足条件的两位数有（个） [例3] 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字，表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为多少？ 解：沿12—5—3路线传递的信息最大量为3（单位时间内），沿12—6—4路线传递信息的最大量为4……由于以上每个线路均能独立完成这件事（传递信息），故单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19。 [例4] 用6种不同的颜色对下图中5个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 解：分五步进行，第一步给5号域涂色有6种方法 第二步给4号涂有5种方法 第三步给1号涂有5种方法 第四步给2号涂有4种方法 第五步给3号涂有4种方法 根据分步计数原理，共有种不同涂法 [例5] 求下列各式中的值 （1）；（2）；（3）。 解：（1）由排列数公式， 得 整理得 ∴ ∴ 或（舍去） ∴ （2）由排列数公式， 得 整理得 解得或（舍去） ∴ （3）由排列数公式，得 化简得 或 ∵ ∴ [例6] 证明下列等式： （1）； （2） ； （3） 证明：（1）∵ ∴ （2） （3）∵ ∴ [例7] 由0，1，2，3，4，5共六个数字可组成多少个没有重复数字且能被5整除的六位数？ 解：组成的六位数与顺序有关，但首位不能排0，个位必须排0或5，因此分两类：第一类：个位必须排0，此时前五位数由1，2，3，4，5共五个数字组成，这五个数字的每一个排列对应一个六位数，故此时有个六位数。第二类：个位数排5，此时为完成这件事（构造出六位数）还应分两步，第一步排首位，有4种排法，第二步排中间四位，有种排法，故第二类共有种排法，以上两类排法都符合题目要求，所以共可组成个。 [例8] 用0，1，2，3，4五个数字组成的无重复数字的五位数中，其依次从小到大的排列。 （1）第49个数是多少？（2）23140是第几个数？ 解：（1）1、2是首数时各组成个不同的五位数，故第49个数是30124。 （2）1在万位时有个；2在万位，0、1在千位的共有个；2在万位，3在千位，0在百位的有个，还有23104比23140小，故23140是第（个）数。 [例9] 四名男生和三名女生按要求站成一排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站在两端；（2）甲、乙二人不能站在两端；（3）甲、乙二人之间间隔两个人；（4）四名男生站在一起，三名女生站在一起；（5）男女互相间隔开；（6）三名女生排列顺序一定。 解：（1）方法一：因为甲不在两端，分两步排队，首先从甲以外的6个人中任选两人站在左、右两端，有种方法，然后让剩下的5个人（其中包括甲）站在中间的5个位置，有种方法，因此共有种站法。 方法二：因为甲不在两端，分两步排队，首先排甲，有种方法，第二步让其他6人站在其他6个位置上，有种方法，故有种站法。 方法三：第一步先让甲以外的人站队，有种方法，第二步让甲插入这6个人之间的空当中，有种，故共有种站法。 方法四：在排队时，对7个人，不考虑甲的站法要求任意排列，有种方法，但其中包括甲在左端或右端的