高二数学合情推理与演绎推理苏教版知识精讲.doc

高二数学合情推理与演绎推理苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 合情推理与演绎推理 二. 重点、难点： 教学重点：能用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 教学难点：了解合情推理和演绎推理的联系和区别． 三. 基础知识与基本方法 1、知识结构 2、合情推理与演绎推理的区别: ①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; 类比是根据两种事物某些属性的相似，推断出它们其他属性也可能相似的一种推理方法．类比可分为概念类比、结构类比、解法类比和性质类比．通过类比发现新的数学知识和新的解题方法，通过类比可进一步培养学生的发散思维能力和创造思维能力，通过类比可深刻揭示知识的内涵和外延． ③演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理，是由一般到特殊的推理． 3、各种推理的思维模式 归纳推理的思维过程为：实验、观察概括、推广猜测一般结论． 类比推理的思维过程为：观察、比较联想、类推猜测新的结论． 演绎推理的思维过程为：大前提：M是P，小前提：S是M，结论：S是P． 【典型例题】 例1. 等和数列的定义：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项之和为同一个常数的数列．这个数列叫等和数列．这个常数叫等和数列的公和．若已知等和数列首项为2，公和为5，求该等和数列的通项公式与前n项之和． 解：， 变式：类比等比数列可以得到等积数列： 若已知首项为2，公积为6，请写出该等积数列的通项公式与前n项和公式． 说明：通过概念类比．可发现新知识，揭示新规律，从而培养学生的学习能力． 例2. ①若已知求的值． 分析：等差数列求和方法为“倒序相加”法，由此结构特征，我们可求如下一些类型的和．只要利用f（n）＋f（1－n）＝，就可以求得答案为． ②已知，则＝______ （答：） ③已知，则 ＝____________ （答：1002） ④若x∈R、n∈N*，定义：＝（的奇偶性为 （A） A. 是偶函数而不是奇函数 B. 是奇函数而不是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 说明：类比相同或相似的结构，考查学生的发散思维能力，理性思维能力以及合情推理能力． 例3. 已知x0，y0，x＋2y＝1，求的最小值． 解：＝（）（x＋2y）＝3＋. 类比上述解题方法，求解下列问题： ①已知a，b为正常数，且a＋b＝10，x，y为正数，且＝1，又x＋y的最小值为18，求a，b的值. 分析：x＋y＝（x＋y）×（）＝a＋b＋＝18， 故 ②已知a，b为正数，且a≠b，x，y∈R＋，求证：，并指出等号成立的条件． ③利用②的结论求函数f（x）＝的最小值，并指出等号成立的条件． 说明：通过解法类比，考查学生知识的迁移能力和灵活应用知识的能力． 例4. （2003上海春季）已知椭圆具有的性质：若M，N是椭圆C1:（ab0）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM·kPN是与点P位置无关的定值，试对双曲线C2:写出具有类似性质，并加以证明． 分析：kPM·kPN＝. 说明：性质类比主要是学科内部的类比，如圆锥曲线间的性质类比等，有利于考查学生类比探究的能力． 例5. （2002春季京皖）已知点的序列An（xn，0）， （n∈N ＋）其中x1＝0，x2＝a（a0），A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，… （1）写出xn与xn－1，xn－2之间的关系式； （2）设an＝xn－1－xn－2，计算a1，a2，a3，由此推测得{an}的通项公式，并加以证明； 答：（1） xn＝（xn－1＋xn－2） （2）a1＝x2－x1＝a－0＝a， a2＝x3－x2＝. a3＝x4－x3＝. 由此推测得an＝. 验证如下： ． ∴{an}是以－为公比的等比数列． ∴an＝a1（－）n－1＝（－）n－1a （n∈N ＋）. 例6. （1）设a，b是两个实数，求证：若|a|1，|b|1，则1． （2）对于三个实数a，b，c，是否存在与（1）类似的结论？ 答：（1）证明略 （2）存在 1． 例7. 空间n个平面最多把空间分成多少个部分? 解：“最多”需任意两个平面不平行，任意三个平面不交于一直线． 平面之于空间低一维，恰似直线之于平面低一维．所以我们可以类比直线分平面的个数使问题获解． 当直线分平面时，第k条直线与前k –1条直线有k –1个交点，这k –1个交点把直线分成k段，每一段把原所在平面分成2部分． 记k条直线分平面的个数为P（k）