高二数学合情推理与演绎推理（文）人教实验版（A）.doc

高二数学合情推理与演绎推理（文）人教实验版（A） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 合情推理与演绎推理 二. 重点、难点： 1. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。 2. 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。 3. 合情推理：经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 4. 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。 5. 总结： （1）归纳推理：由个别到一般 （2）类比推理：由特殊到特殊 （3）合情推理：猜想（不一定正确） （4）演绎推理：由一般到特殊 【典型例题】 [例1] 在数列中，，试猜想这个数列的通项公式。 分析：根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项。 解：中，，…… ∴ 的通项公式 [例2] 顺次计算数列：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，……的前4项的值，由此猜测：结果。 解：1=12 1+2+1=4=22 1+2+3+2+1=9=32 1+2+3+4+3+2+1=16=42 从而猜想： [例3] 已知（n=1、2、……），，试归纳这个数列的通项公式。 解： [例4] 在中，若∠C=90°，则，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想。 分析：考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体P—ABC，且三个面与面ABC所成的二面角分别是。 解：如图，在中， 于是把结论类比到四面体P—ABC中，我们猜想，三棱锥P—ABC中，若三个侧面PAB、PBC、PCA两两互相垂直且分别与底面所成的角为。 由此可猜想出四面体性质为： [例5] 已知：；。通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： =（*）并给出（*）式的证明。 一般形式： 证明：左边 右边 ∴ 原式得证（将一般形式写成 等均正确） [例6] △DEF中有余弦定理：。拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC—A1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。 分析：根据类比猜想得出 其中为侧面为ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角 证明：作斜三棱柱ABC—A1B1C1的直截面DEF，则∠DFE为面ABB1A1与面BCC1B1所成角△DEF中有余弦定理： 同乘以，得 即 [例7] 把下列演绎推理写成“二段论”的形式。 （1）三角函数都是周期函数，是三角函数，所以是周期函数。 （2）一切奇数都不能被2整除，（2100+1）是奇数，所以（2100+1）不能被2整除。 解：（1）三角函数都是周期函数（大前提） 是三角函数（小前提） ∴ 是周期函数（结论） （2）一切奇数都不能被2整除（大前提） （2100+1）是奇数（小前提） ∴（2100+1）不能被2整除（结论） [例8] 用三段论证明：三角形内角和等于180°。 证明：∵ 平角等于180°（大前提） 在△ABC中延长BC至E，作CD//AB，则∠A=∠ACD，∠B=∠DCE ∴ ∠A+∠B+∠C=∠ACB+∠ACD+∠DCE ∵ ∠ACB+∠ACD+∠DCE为平角（小前提） ∴ ∠A+∠B+∠C=180° [例9] 已知实数p满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明。 由解得，所以，方程的判别式，因为，所以，所以△0，因此得方程无实根。 [例10] 设，求证：。 证明：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当且仅当时等号成立，所以 [例11] 已知是各项均为正数的等差数列，成等差数列，又，证明：为等比数列。 因为成等差数列，所以即 设等差数列的公差为d，则所以从而 若d=0，则为常数列，相应也是常数列，此时是以首项为正数，公比为1的等比数列 若，则这时是首项为，公比为的等比数列。所以综上知为等比数列。 [例12] 如图所示为三个拼在一起的正方形，求证：。 证明：∵ ∴ ，又 ∵ ∵ ∴ [例13] 求证函数是奇数，且在定义域上是增函数。 证明：（1）∵ ，定义域为x∈R ∴ 即 ∴ 是奇函数 （2）任取，且 则 ∵ ∴ ，从而 ∴ ，故f（x）为增函数 【模拟试题】 1. 由数列1，10，100，1000，……猜测该数列的第n项可能是（ ） A. B. C. D.