高二数学圆锥曲线与直线的位置关系 知识精讲 人教实验版（B）.doc

高二数学圆锥曲线与直线的位置关系 知识精讲 人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 圆锥曲线与直线的位置关系 二. 学习目标 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决与直线和圆锥曲线的位置关系相关的一些问题。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决。 三. 考点分析 1. 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程（A、B不同时为0）代入圆锥曲线的方程。消去（也可以消去）得到一个关于变量（或者变量）的一元二次方程。 即，消去后的。 （1）当时，则有，直线与曲线相交；，直线与曲线相切；，直线与曲线相离。 （2）当时，即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行。 2. 连结圆锥曲线上的两点的线段称为圆锥曲线的弦。 直线：，曲线：，与的两个不同的交点A、B，，，则，是方程组的两组解，方程组消元后化为关于（或者）的一元二次方程（），判别式，应有，所以、是方程的解，由根与系数的关系（韦达定理）求出，。所以A、B两点间距离为，即弦长公式。也可以写成关于的形式，其弦长公式为。 3. 已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程。 （1）AB是椭圆（）的一条弦，中点M坐标为，则AB的斜率为，运用点差法求AB的斜率，设，。A、B都在椭圆上， ， 两式相减得。 ， 即。故。 （2）运用类比的手法可以推出，已知AB是双曲线的弦，中点，则； （3）已知抛物线（）的弦AB的中点，则。 4、椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线（a0，b0）的焦点到渐近线的距离为b; 5、抛物线y2=2px(p0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=; 6、过椭圆（ab0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦； 【典型例题】 例1. 已知椭圆 及直线 . （1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程. 分析直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解. 因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式. 已知弦长，由弦长公式就可求出 . 解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，即 . ， 解得 . （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得， . 根据弦长公式得 . 解得 . 因此，所求直线的方程为 . 说明处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别. 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式. 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程. 2. 直线 与双曲线 相交于 、 两点. 当 为何值时，以 为直径的圆经过坐标原点. 解：由方程组： 得 因为直线与双曲线交于 、 两点 ∴ 解得 . 设 ， ，则： ， ， 而以 为直径的圆过原点，则 ， ∴ . . 于是 ， 即 . 解得 满足条件. 故当 时，以 为直径的圆过原点. 例3. 斜率为1的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交于两点 、 ，求线段 的长。 解：由抛物线的标准方程可知，焦点 ，准线方程 . 由题设，直线 的方程为： . 代入抛物线方程 ，整理得： . 解法一：解上述方程得： ， 分别代入直线方程得： 即 坐标分别为 、 . 解法二：设 ， ，则： =8 解法三：设 、 B（x2，y2）. 由抛物线定义可知， 等于点 到准线 的距离 . 即 同理 点拨：（1）解法一利用传统的基本方法求出 两点坐标，再利用两点间距离公式求出 的长。解法二没有利用直线求出 坐标。而是利用韦达定理找到 与 的关系，利用直线截二次曲线的弦长公式 求得，这是典型的设而不求思想方法比解法一先进，解法三充分利用抛物线的定义，把过焦点的这一特殊的弦分成两个半径的和，转化为准线的距离，这是思维质的飞跃。 （2）抛物线 上一点 到焦点 的距离 这就是抛物线的焦半径公式。焦点弦长 例4. 若直线 与抛物线 交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程. 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解. 另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k. 解法一：设 、 ，则由： 可得： ∵直线与抛物线相交， 且