高二数学圆锥曲线的应用题 知识精讲 苏教版.doc

高二数学圆锥曲线的应用题 知识精讲 苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 圆锥曲线的应用题 二. 教学 1. 提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力． 发展数学应用意识和创新意识，力求 三. 知识点归纳： 1. 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2. 双曲线的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为定值(小于|F1F2|)的点的轨迹．其中两定点为焦点，两焦点之间的距离为焦距． 3. 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 【典型例题】 例1. 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求该彗星与地球的最近距离． 分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a－c，这样把问题就转化为求a，c或a－c． 解：建立如图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（－c，0）处，椭圆的方程为+=1， 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=（或∠xFA′=）． 作AB⊥Ox于B，则｜FB｜=｜FA｜=m， 故由椭圆的第二定义可得 m=（－c）① 且m=（－c+m）② 两式相减得m=·m，∴a=2c 代入①，得m=（4c－c）=c， ∴c=m　∴a－c=c=m 答：彗星与地球的最近距离为m万千米． 点评：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a－c，另一个是a+c． （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质． 例2. 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工． 分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类： （1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远 显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点则有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜． 于是｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=150－100=50． 从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程． 解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则 ｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜， ∴｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=50． 在△PAB中，由余弦定理得 ｜AB｜2=｜PA｜2+｜PB｜2－2｜PA｜｜PB｜cos60°=17500， 且50＜｜AB｜． 由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上， 设此双曲线方程为－=1（a＞0，b＞0）． ∵2a=50，4c2=17500，c2=a2+b2， 解之得a2=625，b2=3750． ∴M点轨迹是－=1（x≥25）在半圆内的一段双曲线弧． 于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工． 点评：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域． （2）应用分类思想解题的一般步骤：①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果． 例3. 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值 分析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m到2 m