高二数学圆锥曲线的最值问题人教实验版（B）.doc

高二数学圆锥曲线的最值问题人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 圆锥曲线的最值问题 二. 本周学习目标 圆锥曲线最值问题是解析几何中的重要问题之一。它的求解常常涉及到函数、不等式、方程、三角以及平面几何等方面的知识，综合性较强。对学生来说是一个难点，但同时又是数学高考中的热点问题 三. 考点分析 圆锥曲线中最值的求法有两种： （1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。 （2）代数法：若题目中的条件和结论能体现这一明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值常用的方法：配方法，判别式法，重要不等式法及函数的单调性法。 【典型例题】 例1. 点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3，求动点P与定点距离的最大值。 错解：设动点P（x，y）到直线x=8的距离为d，则，即 两边平方，整理得 由此式可得 因为 所以 剖析：由上述解题过程知，动点P（x,y）在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了这一取值范围，由以上解题过程知，的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决。 即当时， 例2. 求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 解法一：当半径最小时，圆面积也最小， 设所求圆的方程为： 即 即+ ，此圆面积最小。 故满足条件的圆的方程为： 解法二：当圆心在直线上时，圆面积最小， 由（一）易求得圆心坐标为 代入直线方程得 解之得 故当时，此圆面积最小。 故满足条件的圆的方程为 例3. 求椭圆 上的点到直线 的距离的最小值. 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值. 解：椭圆的参数方程为 设椭圆上的点的坐标为 ，则点到直线的距离为 . 当 时， . 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程. 例4. 设 ， ， ，求 的最大值和最小值. 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程 与椭圆方程的结构一致. 设 ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值. 解：由 ，得 可见它表示一个椭圆，其中心在 点，焦点在 轴上， 且过（0，0）点和（3，0）点. 设 ，则 它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为 . 在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示. 观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即 ，此时 ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即 ，∴ . ∴ 的最小值为0，最大值为15. 例5. 已知椭圆的焦点F1(―3,0)、F2(3,0)且与直线x―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程. 解法1：设椭圆为=1与直线方程x―y+9=0联立并消去y得： (2 a2― 9) x2 + 18 a2 x + 90 a2―a4= 0， 由题设△=(18 a2)2―4(2 a2―9) (90 a2―a4) ≥0 a4―54 a2 + 405 ≥0 故amin=3，得（2a）min=6, 此时椭圆方程为. 解法2：设椭圆=1与直线x―y+9=0的公共点为M(acosα,)， 则acosα―+9=0有解. =―9 cos(α+)=，||1 ≥9a2≥45, amin=3，得（2a）min=6, 此时椭圆的方程. 解法3：先求得F1(―3，0)关于直线x―y+9=0的对称点 F(―9,6)， 设直线与椭圆的交点为M，则2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|≥|FF2|=6，于是(2a)min=6,易得a2=45,b2=36， 此时椭圆的方程为. 评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。 解决圆锥曲线中的最值问题，必须在熟练并准确地掌握圆锥曲线的定义、性质的基础上，灵活运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，恰当的确立解题方法，此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、规范合理、结果准确。 【模拟试题】 选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） A. (1，2) B. (2，1) C. (22) D. (0，0) 2到直线距离最近的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3、等边，内接于抛物线，则（ ） A. 3 B. C. D. 无法判断 4. 双曲线的焦点为、，弦AB过且两端点在双曲线的一支上，若，则（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 不为定值 5、AB是过抛物线的焦点的弦，则的最