高二数学圆锥曲线的综合问题 知识精讲 苏教版.doc

高二数学圆锥曲线的综合问题 知识精讲 苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 圆锥曲线的综合问题 二. 重点、难点： 教学重点： 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程 （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 （4）了解圆锥曲线的初步应用 教学难点： 解析几何知识的综合运用，以及与其它知识的灵活运用。 三. 知识点归纳： 解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的 具体来说，有以下三方面： （1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口 （2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识 （3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号 【典型例题】 例1 如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a0，b≠0），且交抛物线y2＝2px（p0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点 （1）写出直线l的截距式方程； （2）证明：＋＝； （3）当a＝2p时，求∠MON的大小 分析：易知直线l的方程为＋＝1，欲证＋＝，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2＝2px交点的纵坐标由根与系数的关系易得y1＋y2、y1y2的值，进而证得＋＝ 由·＝0易得∠MON＝90°亦可由kOM·kON＝－1求得∠MON＝90° （1）解：直线l的截距式方程为＋＝1 （2）证明：由＋＝1及y2＝2px消去x可得by2＋2pay－2pab＝0 点M、N的纵坐标为y1、y2， 故y1＋y2＝，y1y2＝－2pa 所以＋＝＝＝ （3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2， 则k1＝，k2＝ 当a＝2p时，由（2）知，y1y2＝－2pa＝－4p2， 由y12＝2px1，y22＝2px2，相乘得（y1y2）2＝4p2x1x2， x1x2＝＝＝4p2， 因此k1k2＝＝＝－1 所以OM⊥ON，即∠MON＝90° 点评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力 例2 已知椭圆C的方程为＋＝1（ab0），双曲线－＝1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图） （1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程； （2）当＝λ时，求λ的最大值 分析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60°易得＝，由双曲线的焦距为4易得a2＋b2＝4，进而可求得a、b （2）由＝λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程将l与l2的方程联立可求得P点的坐标，进而可求得点A的坐标将点A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值 解：（1）∵双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线夹角为60°， 又1，∴∠POx＝30°，即＝tan30°＝ ∴a＝b 又a2＋b2＝4， ∴a2＝3，b2＝1 故椭圆C的方程为＋y2＝1 （2）由已知l：y＝（x－c），与y＝x解得P（，）， 由＝λ得A（，） 将A点坐标代入椭圆方程得 （c2＋λa2）2＋λ2a4＝（1＋λ）2a2c2 ∴（e2＋λ）2＋λ2＝e2（1＋λ）2 ∴λ2＝＝－［（2－e2）＋］＋3≤3－2 ∴λ的最大值为－1 点评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题 例3 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标 分析：设椭圆方程为＋＝1，由e＝知椭圆方程可化为x2＋4y2＝4b2，