高二数学复合函数的导数人教实验版（B）知识精讲.doc

高二数学复合函数的导数人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 复合函数的导数 ［主要内容］ 复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数 ［学习目标］ 了解复合函数的概念，会分解复合函数或合成复合函数；理解复合函数的求导法则，并会求导，正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确。掌握对数函数，指数函数的求导法则。 ［考点分析］ 1、复合函数的概念 对于函数，令，若是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则称函数是自变量x的复合函数。 2、复合函数的导数：首先要弄清复合函数的复合关系。它的求导法则是：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即·或 注：复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代。 3、复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。 4、对数函数的导数 （1） （2） 5、指数函数的导数 （1） （2） 【典型例题】 例1、指出下列函数的复合关系 （1）； （2）； （3）； （4）。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构。解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次。一般是以最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程。 解答：函数的复合关系分别是 （1）； （2）； （3）； （4）。 例2、求下列函数的导数 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 解： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 例3、求下列函数的导数。（其中是可导函数） （1）； （2）。 分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。先设出中间变量，再根据复合函数的导数运算法则进行求导运算。一般地，假设中间变量可以直接对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量。 解：（1）解法一：设，则 解法二： （2）解法一：设，则 解法二： 例4、求y ＝ （0＜A ＜ 【解法一】y ＝（0＜A ＜ ∴y ＝＝sin（）＋cos（） ＝2 [sin（）＋cos（）]＝2 sin（）cos y′＝(2 cos )′＝－sin 【解法二】y′＝()′＋()′ ＝(1－sin A)(－cos A)＋(1＋sin A)cos A ＝ ∵ A ∈（0，） ＝[（cos －sin ）－（cos ＋sin ）] ＝－sin 【解法三】∵ 0＜A ＜ y ＝＋ ＝（cos －sin ）＋（cos ＋sin ） ＝2 cos y′＝－sin 【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键。解法二是从和的导数求导数入手，后面的化简较繁。 例5、求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数。 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2xcos2x ＝1－sin22 x ＝1－（1－cos 4 x） ＝＋cos 4 x y′＝－sin 4 x 【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′ ＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′ ＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x) ＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x) ＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确。解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步。 例6、曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程。 解： ∴ 曲线在（0，1）处的切线的斜率 ∴ 切线方程为 设的方程为 ∴ ∴ 或6 当时，为： 当时，为： 【模拟试题】 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 0 3. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 4. 在处的切线方程是（ ）