高二数学多面体人教版知识精讲.doc

高二数学多面体人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 多面体 目标：掌握棱柱、棱锥的概念、性质及应用。 重点：应用棱柱、棱锥性质解题。 难点：多面体中的角与距离问题。 知识点： 1. 棱柱与它的性质 （1）定义：有两个面互相平行，其余各面是两相邻面的交线平行的多面体。 （2）分类： （3）性质： ①各侧面都是平行四边形，（直棱柱侧面是矩形）所有侧棱都相等。 ②平行底面的截面与底面全等，对应边平行。 ③过不相邻侧棱截面是平行四边形。（直棱柱时为矩形） 2. 棱锥 （1）定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共点的三角形的多面体。 （3）性质：平行底面的截面与底面相似，截面与底面面积之比等于对应高的平方比。 【典型例题】 例1. 在下面四个命题中： （1）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； （2）斜三棱柱的侧面一定都不是矩形； （3）底面是长方形的平行六面体是长方体； （4）侧面是正方形的正四棱柱是正方体。 真命题共有（ ）个。 答：只有（4）是真的。 例2. 直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠A1B1C1=90°，且AB=BC=BB1，E、F分别是AB、CC1的中点，求A1C与EF所成角的余弦值。 解： 设A1C与EF所成角为θ 例3. 正四棱柱ABCD—A’B’C’D’中，若A’B与平面A’B’CD所成角是30°，求证：此正四棱柱是正方体。 证明：设AB=BC=1，AA’=a ∵平面A’C⊥平面BC’ ∴过B作BO⊥B’C于O 则BO⊥平面A’B’CD，∠BA’O=30° 在Rt△B’BC中，由B’C·BO=B’B·BC ∴a=1，于是此四棱柱为正方体。 例4. 棱锥平行底面的截面与底面的面积之比为1：3，求截面将侧棱分成两段之比。 解： 例5. 正n棱锥侧棱与底面边长相等，求n的集合。 解：如图所示知每个侧面都是正三角形，这些侧面顶角和为n60°。 由60°·n360° 注：∠ASB∠AOS 例6. 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°。 （1）证明AA1⊥BD 证明：（1）∵∠A1AD=∠A1AB，AC⊥BD 过A1作A1O⊥底面AC于O，则O∈AC ∴由三垂线定理得BD⊥A1A （2）设AB=BC=1，CC1=h 【模拟试题】 1. 长方体交于一个顶点的三个面的面积分别为，则长方体的体积为（ ） A. B. 6 C. D. 2. 过一个棱锥的高的两个三等分点作平行于底面的两个截面，那么截面与底面的面积之比为（ ） A. 1：2：3 B. 1：4：9 C. D. 1：2：6 3. 边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折成直二面角后，B、D两点间的距离是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 正三棱锥中，PA与BC所成角的大小为______________。 5. 设正四棱锥底面边长为4，侧面和底面所成的二面角为60°，则这个棱锥的侧面积为________________。 6. 若正六棱锥的底面边长为2，高为1，则其顶点到底面各边的距离为__________。 7. 与四面体的四个顶点距离相等的平面共有_____________个。 8. 棱长为a的正方体，从A出发沿着正方体的表面运动到，最近的距离是_______________。 9. 如图所示，正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为，求与平面所成的角。 10. 已知正四棱锥中，E为PC的中点，且。求二面角的大小。 11. 已知四边形ABCD为矩形，平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。 （I）证明：； （II）若平面PCD与平面ABCD成45°的角，求证：平面平面PCD。 [参考答案] http// 1. A 2. B 3. C 4. 90° 5. 32 6. 2 7.