高二数学寒假专题 数列：等差数列与等比数列的性质及其应用 知识精讲 苏教版.doc

高二数学寒假专题 数列：等差数列与等比数列的性质及其应用 知识精讲 苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 寒假专题——数列：等差数列与等比数列的性质及其应用 二. 本周教学目标： （1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 （2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题 （3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题 三. 本周知识要点： 1. 一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 2. 等差数列的通项公式：an=a1+（n－1）dan=ak+（n－k）d（a1为首项、ak为已知的第k项）当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 3. 等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。 4. 等差数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 5. 等差中项公式：A= （有唯一的值） 6. 等比数列的通项公式： an= a1 qn－1an= ak qn－k （a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0） 7. 等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 （n的正比例式）q≠1时，Sn= Sn= 8. 等比中项公式：G= （ab0，有两个值） 9. 等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m－Sm、S3m－S2m、S4m－S3m、……仍为等差数列。 10. 等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 11. 等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 12. 等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m－Sm、S3m－S2m、S4m－S3m、……仍为等比数列（m为偶数且公比为－1的情况除外）。 13. 两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an－bn}仍为等差数列。 14. 两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an·bn}、、仍为等比数列。 15. 等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 16. 等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 17. 三个数成等差的设法：a－d，a，a+da－3d，a－d，a+d 18. 三个数成等比的设法：a/q，a，aqa/q3，a/q，aq3 （0，对于公比为负的情况不能包括） 19. {an}为等差数列，则 （c0）是等比数列。 20. {bn}（bn0）是等比数列，则{logcbn} （c0且c1） 是等差数列。 【典型例题】 例1. 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列，求公比q 解：设等差数列的通项an = a1+（n－1）d（d≠0） 根据题意得 a32 = a2a6 即（a1+2d）2 = （a1+d）（a1+5d） 解得 所以 例2. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn。 解：依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ② ∵an、bn为正数，由②得 代入①并同除以得： ∴为等差数列 ∵b1 = 2 ， a2 = 3 ， ∴ ∴当n≥2时， 又a1 = 1，当n = 1时成立， ∴ 例3. 在等比数列{an}的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2 an－1=128，前n项和Sn=126， 求n和公比q 解：∵{an}为等比数列 ∴a1·an=a2·an－1 由a1·an=128 ， a1+an=66 且 a1最小 得a1=2 ，an=64 解得 ∵2·qn－1=64，∴2n=64 解得n=6， ∴n=6，q=2 例4. 已知：正项等比数列{an}满足条件： ①； ②； 求的通项公式 解：易知 ，， 由已知得 ① ② ①÷②得 ，即 ，∴ ①×②得 即 ， 即 ∴，即 ∴ 例