高二数学导数在研究函数中的应用苏教版.doc

高二数学导数在研究函数中的应用苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 导数在研究函数中的应用 二. 重点、难点： 教学 ②结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 教学难点： 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 三. 知识要点： 1. 知识网络 2. 基本方法： （1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x） 0，那么函数y＝f（x）0，那么函数y＝f（x）ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． （6）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值． （7）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f（x）．②求方程f（x）＝0的根．③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值． （8）函数的最大值和最小值：在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．①在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．②函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的．③函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．④函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个． （9）利用导数求函数的最值步骤：①求在内的极值；②将的各极值与、比较得出函数在上的最值． 【典型例题】 例1 求下列函数的单调区间： （1） （2） （3） 分析：求函数的单调区间的具体步骤是：①确定的定义域；②计算导数；③求出的根；④用的根将的定义域分成若干个区间，列表考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间． 解：（1）函数的定义域 令得，用分割定义域D，得下表： －2 1 ＋ 0 － 0 ＋ ↗ ↘ ↗ 的单调增区间是和，单调减区间是（－2，1）． （2）函数的定义域 令得，用分割定义域D，得下表： －1 0 （0，1） 1 — 0 ＋ 0 — 0 ＋ ↘ ↗ ↘ ↗ 的单调增区间是和，单调减区间是和（0，1）． （3）函数的定义域为，， 令得． 其中不在定义域内，用分割定义域D，得下表： x （0，） （，＋） _ 0 ＋ ↘ ↗ 的单调增区间是，单调减区间是． 点评：较复杂函数，求导数要准确．解不等式y′＞0（或y′＜0之后，一定要注意与定义域相结合来确定单调区间． 例2 设f（x）＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极小值10，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间． 剖析：由已知x＝1处有极小值10，点（1， 10）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b． 解：（x）＝3x2－2ax－b，由题意知 当时，f’（x）＝3（x－1）2≥0，此时x＝1不是函数的极值点． 而时， f’（x）＝（x－1）（3x＋11）＝3（x＋）（x－1）． 当（x）0时，x1或x－， 当（x）0时，－x1． ∴函数f（x）的单调增区间为（－∞，－）和（1，＋∞），减区间为（－，1）． 点评：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点． f（x）＝0是函数f（x）取得极值的必要而不充分条件． 例3 已知函数f（x）＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求实数a的取值范围． 分析：在R上为减函数，则导函数在R上恒负． 解：（x）＝3ax2＋6x－1． （1）当（x）0时，f（x）为减函数． 3ax2＋6x－10（x∈R），a0时，Δ＝36＋12a0，∴a－3． ∴a－3时，（x）0，f（x）在R上是减函数． （2）当a＝－3时，f（x）＝－3（x－）3＋． 由y＝x3在R上的单调性知：a＝－3时，f（x）在R