高二数学寒假专题 导数的综合应用与高考 知识精讲 人教实验版（B）.doc

高二数学寒假专题 导数的综合应用与高考 知识精讲 人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 寒假专题——导数的综合应用与高考 二. 知识分析 【命题趋势】 导数是高中数学的重点内容之一，也是高考的考查重点，在历年高考试题中占有较大的比重，它除了考查导数的基础知识、基本运算，还利用导数思想和方法解决难度较大的综合题．如研究函数的性质（单调性、极值和最值），解决实际生活中的利润最大、用料最省、效率最高等优化问题． 【高考预测】 随着高考的逐步完善，结合考题特点，涉及本章知识的试题仍会以选择、填空题的形式出现，主要考查导数的意义和运算；解答题主要以导数的意义为主线，以基本初等函数，实际应用为背景的应用题、开放性问题为主要题型；也有一些与几何、代数、三角、解析几何等有关知识结合在一起的综合性题目．这些题目具有构思巧妙、独特新颖、解法灵活等特点，成为近几年新教材高考卷的一大热点，根据2005、2006年的高考试题，可以预测2007年及以后的高考中导数的应用仍会以中档题（甚至上升为把关题）的形式出现。 定积分是新增内容，预测分割、近似替代、作和、求极限的思想将在高考题中体现，曲边形的面积、变力做功、变速直线运动的路程等实际问题将在选择、填空题中出现，本类考题，估计是中档或者容易题． 【应用分析】 涉及导数与定积分知识的应用问题、综合问题，关键是深刻理解导数与定积分的原始概念，理清应用问题、综合问题的基本要求，最终借用导数或定积分来解决． 例1、已知x、y为正实数，且满足关系式，求的最大值． 分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一下主要变量，将x，y表示为某一变量（x或y或其他变量）的函数关系，实际问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值． 解：方法1： 由解得 设 当时， 令，得或x=0（舍） ，又 ∴函数的最大值为 即x·y的最大值为。 方法2：由得 设 ，设 则 令，得或 ，此时 即当时， 例2. 求抛物线及所围成图形的面积。 解：如图所示，两曲线交两点，由 ，得交点（0，2），（0，－2） 且两抛物线关于y轴是对称图形。 所以它们围成的面积是它们在第一象限围成面积的4倍。 例3. 设函数。 命题p：函数在上是增函数； 命题q：不等式对一切恒成立。如果两个命题p和q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围。 解：对一切恒成立对一切x≥1恒成立 ∵p和q中有且只有一个真命题，当p真q假时； 当p假q真时a不存在 综上：a的取值范围是。 例4. 已知a0，函数： （1）求函数f(x)的最小值。 （2）证明： 解：（1）令 得 当时， 故在［0，a］上递减。 当xa，，故f(x)在（a，+∞）上递增。 所以，当x=a时，f(x)的最小值为 （2）由b0，有 即 故 【部分高考题选析】 样题一 （2005·广东）函数的减区间为（ ）。 A. （2，+∞） B. （－∞，2） C. （－∞，0） D. （0，2） 解答要点：选D。，设，得。 样题二 （2005·湖北）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解答要点：选A。，依题意，，得， 故整数x有－1，0，1三个，坐标为整数的点也有三个。 样题三 （2005·湖南·理）设，…，，则的值为（ ） A. B. C. D. 解答要点：选C。，所以。 样题四 （2005·江西·理7）已知函数的图象如图所示，（其中是函数的导函数），则的图象大致是下图中的（ ） A B C D 解答要点：选C。 从上图可知：x－1时，；时，；时；x1时 故（－∞，－1）时，为增函数，（－1，1）时为减函数，（1，+∞）时f(x)为增函数，故选C。 样题五 （2005·北京·理）过原点作曲线的切线，则切点的坐标为_________，切线的斜率为__________。 解答要点 分别填（1，e）；e。 因为，设切点为（），则切线方程为，代入（0，0）得。 样题六 （2005·湖南）设t≠0，点P（t，0）是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。 （1）用t表示a，b，c； （2）若函数在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围。 解答要点（1） 因为函数f(x)，g(x)的图象都过点（