高二数学寒假专题 椭圆 知识精讲 苏教版.doc

高二数学寒假专题 椭圆 知识精讲 苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 寒假专题——椭圆 二. 教学目标： 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程 三. 知识要点： 1. 定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)。 ②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0e1），则P点的轨迹是椭圆。 2. 椭圆参数的几何意义，如下图所示： （1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=，==e； （2），； （3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c； （4）|F1K1|=|F2K2|=p=， 3. 标准方程：椭圆标准方程的两种形式 和，其中。 椭圆的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是焦准距（焦点到准线的距离），焦参数（通径长的一半）范围：，，长轴长=，短轴长=2b，焦距＝2c ， 焦半径：，。 4. 中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角()结合起来，建立+、等关系。 5. 椭圆上的点有时常用到三角换元：； 【典型例题】 例1. 已知椭圆的焦点是，直线是椭圆的一条准线。 ①求椭圆的方程； ②设点P在椭圆上，且，求。 解：① . ②设则 又 ， 例2. 求中心在原点，一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程。 解：设椭圆方程 ，， 因为弦AB中点为，所以 由得，（点差法） 所以 ，又 例3. 已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。 分析：求椭圆的离心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF1⊥F1A，PO∥AB易得b=c，a=b。 解：设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），F1（－c，0），c2=a2－b2 则P（－c，b），即P（－c，） ∵AB∥PO，∴kAB=kOP 即－=，∴b=c 又∵a==b ∴e=== 点评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键. 例4. 如下图，设E：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ. 求证：△PF1F2的面积S=b2tanθ。 分析：有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便。如本题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2θ。若能消去r1r2，问题即获解决。 证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2 则S=r1r2sin2θ，又|F1F2|=2c 由余弦定理有 （2c）2=r12+r22－2r1r2cos2θ =（r1+r2）2－2r1r2－2r1r2cos2θ =（2a）2－2r1r2（1+cos2θ） 于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2－4c2=4b2 所以r1r2= 从而有S=·sin2θ=b2=b2tanθ 点评：①解与△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决。 ②我们设想点P在E上由A向B运动，由于△PF1F2的底边F1F2为定长，而高逐渐变大，故此时S逐渐变大。所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数，所以tanθ逐渐变大。因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，）.这样，θ也逐渐变大，当P运动到B时，∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题。 例5. 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程。 分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为。OA⊥OB，易得a、b的两个方程。 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，） 由，∴（a+b）x2－2bx+b－1=0. ∴=，=1－=. ∴M（，）. ∵kOM=，∴b=a. ① ∵OA⊥OB，∴·=－1 ∴x1x2+y1y2=0 ∵x1x2=，y1y