高二数学导数的概念知识精讲苏教版.doc

高二数学导数的概念知识精讲苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 导数的概念 二. 教学目的： 1. 理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法. 2. 掌握导数的几何意义。理解导数与瞬时变化率的关系。 教学重点： 导数的定义与求导数的方法. 教学难点： 导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念， 三. 内容梳理： 1. 曲线的切线 如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点。作割线PQ，当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线。 2.确定曲线c在点处的切线斜率的方法： 因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了。设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率tan，时，＝＝tan 3. 瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度. 4. 确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法： 从t0到t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0. 当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬时速度。 瞬时速度。 5. 导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即 注意：（1）函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。 （2）在导数的定义式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。 （3）是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。 （4）导数是函数在点处的瞬时变化率，它反映函数在点处变化的快慢程度。 6. 导数的几何意义： 是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为 。 说明：（1）导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。 （2）在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成 当△x→0时，。 （3）若极限不存在，则称函数在点处不可导。 （4）若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。 7. 导函数（导数）:如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数， 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝ 函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝所以函数在处的导数也记作。 注意：（1）导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。 （2）可导：如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导 8. 求函数的导数的一般方法： （1）求函数的改变量。 （2）求平均变化率。 （3）逼近，得导数。 【典型例题】 例1. 求y＝x2在点x＝1处的导数. 解：Δy＝（1+Δx）2－12＝2Δx+（Δx）2，＝2+Δx ∴当时，＝ （2+Δx） 2. ∴y′|x＝1＝2. 注意：（Δx）2括号别忘了写. 例2. 已知y＝，求y′. 分析：求函数在一点的导数，与求函数在一个区间上的导数，方法是一样的，也是三个步骤，只是把x0换成x. 解：Δy＝， ∴ . 点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉. 变式：已知y＝x3－2x+1，求y′，y′|x＝2. 解：Δy＝（x+Δx）3－2（x+Δx）+1－（x3－2x+1） ＝x3+3x2Δx+3x（Δx）2+（Δx）3－2x－2Δx+1－x3+2x－1 ＝（Δx）3+3x（Δx）2+（3x2－2）Δx ＝（Δx）2+3xΔx+3x2－2 ∴＝［（Δx）2+3xΔx+3x2－2］， y′＝3x2－2. 方法一：∵y′＝3x2－2，∴y′|x＝2＝3×22－2＝10. 方法二：Δy＝（2+Δx）3－2（2+Δx）+1－（23－2·2+1） ＝（Δx）3+6（Δx）2+10Δx ＝（Δx）2+6Δx+10 ＝［（Δx）2+6Δx+10］当时，得y′|x＝2＝10. 点评：如果题目中要求y′，那么求y′|x＝2时用方法一简便。 如果只要求y′|x＝2，用方法二比较简便。 例3. （1）求曲线y＝x2在点（1，1）处的切线。 （2）求曲线y＝x2过点（1，0）处的切线。 解：（1）由上知y′|