高二数学导数的综合应用知识精讲人教实验版（B）.doc

高二数学导数的综合应用知识精讲人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 导数的综合应用 二. 学习目标 本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法极值的步骤： （1）导数； （2）方程＝0的根； （3）检查＝0的根的左右区间对应的的符号：若左正右负，则在这个根处取得极大值；若左负右正，则在这个根处取得极小值。 （注：实质为‘解方程’，解关于的方程＝0） 2、设函数在上连续，在内可导，求在上的最值的步骤： （1）求在内的极值； （2）将各极值与，比较，确定的最大和最小值。 3、求函数的单调区间：不等式的解集为的增区间；不等式的解集为的减区间。 （注：求函数的单调区间实质上是‘解不等式’） 4、几何意义：函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率。 5、常见函数的导函数 （1）（a为常数） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【典型例题】 例1. 已知函数在处有极值，其图象在处的切线平行于直线，试求函数的极大值与极小值的差。 解： 由于在处有极值 ∴ 即 ① 又∵ ∴ ② 由①②得 ∴ 令，得 由于在，时， 时， ∴是极大值，是极小值 ∴ 例2. 已知在区间[0，1]上是增函数，在区间上是减函数，又 （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若在区间（m＞0）上恒有≤x成立，求m的取值范围． 解：（Ⅰ），由已知， 即解得 ，，，． （Ⅱ）令，即， ，或． 又在区间上恒成立， ． 例3. 函数，过曲线上的点的切线方程为y＝3x＋1 （1）若时有极值，求的表达式； （2）在（1）的条件下，求在[－3，1]上的最大值； （3）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求b的取值范围。 解：（1）由求导数得过上点 的切线方程为： ， 而过上，的切线方程为 故 即 在x＝－2时有极值，故＝0 ③ 由①②③式联立解得， （2） －2 ＋ 0 — 0 ＋ ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ ， ，在[－3，1]上最大值为13。 （3）在区间 [－2，1]上单调递增，又， 由（1）知， 依题意在[－2，1]上恒有在[－2，1]上恒成立。 ①当时，， ②当时，， ③当时，，∴0≤b≤6 综合上述讨论可知，所求参数b的取值范围是：b≥0。 例4. 已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值． 本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法． （Ⅰ）解：当时，，， 又，． 所以，曲线在点处的切线方程为，即． （Ⅱ）解：． 由于，以下分两种情况讨论． （1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表： 0 0 极小值 极大值 所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数． 函数在处取得极小值，且， 函数在处取得极大值，且． （2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数． 函数在处取得极大值，且． 函数在处取得极小值，且． 【模拟试题】 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1、若函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1＋△x，1＋△y），则为（ ） A、4 B、 C、 D、 2、设，则（0）为 A、0 B、1 C、－1 D、不存在 3、若为偶函数，且存在，则（ ） A、0 B、1 C、 D、x 4、若可导函数的导数，即＝0只有一个实根，则（ ） A、是函数的最值 B、是函数的极值 C、在的左右异号 D、当有极值时，其极值是 5、函数，在时有极值10，则a、b值为（ ） A、 B、 C、 D、以上都不对 6、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 二、填