高二数学平面的法向量及其应用课件.ppt

平面法向量及其应用 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角;这条直线叫做二面角的棱;这两个半平面叫二面角的面. 二面角的平面角 1.定义: 以二面角的棱上任意一点为端点. 在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角. 平面法向量 在立体几何中的应用 ——利用法向量求线面角 向量与平面垂直 如果表示向量 的有向线段所在的直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ， 记作 平面法向量 在立体几何中的应用 ——利用法向量求二面角 作业: 活页作业本: 9.7第二课时. * 二面角的表示法: 棱为AB,面为?,?. 记作二面角?-AB-? A  B 复习: ?AOB为二面角?-a-?的平面角   A B 定义要点:1.棱上的一点2.两条射线分别在两个平 面内3.射线要垂直于棱 ? a O 1.定义: ? 正确掌握空间各种角的定义及取值范围： （1）异面直线所成角?的范围： （2）直线与平面所成的角?的范围： （3）二面角的平面角?的范围通常认为： 0o???90? 0o???90? 0o???180? a ? (一)平面的法向量的定义： a 如果a??,那么向量a叫做平面?的法向量 ? 平面的法向量有无数个,它们的方向相同或相反. 如何求平面的法向量? A B C D x y A1 B1 C1 D1 z 例1 .在棱长为1的正方体 中，(1)求平面 的法向量 (2)求平面ABCD的法向量. （二）:平面的法向量的求法 2、若已知平面内不共线的两个向量，常设 为平面的一个法向量，利用 平面内两个已知向量垂直，得出 之间的关系，进而求出平面的法向量。 1、利用空间的线面垂直关系找法向量。 1、利用平面法向量求直线与平面所成的角： 直线与平面所成的角等于平面的法向量所在的直线与已知直线的夹角的余角。 （三）平面法向量的应用 关键：求平面法向量与直线对应的向量的夹角，并取其锐角，最后再求其余角。 ? ? A B 如图1：直线AB与平面所成的角? = ? ( ?=BA , n ) 2 ? C n 利用平面法向量求直线与平面所成的角： 如图2：直线AB与平面所成的角? = ? ( ?=BA , n ) 2 ? 图2 ? ? A B C n 例2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点， 求MF与面ENF所成的角的余弦值。 A D1 C1 B1 A1 N M F E D C B （1）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BC、BB1的中点。求AB与平面AMN所成的角的大小。 A N M D1 C1 B1 A1 D C B 答案：?/2-arccos(1/3) 或arcsin(1/3) 练习 （2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2，原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1，0）点D在平面yoz上，且?BDC=90o，?DCB=30o,求ＣＤ与平面ＡＢＤ所成角的大小。 A O z y x D C B (0,-1,0) (1,1,0) (0,1,0) E 30o (0,-1/2,?3/2) 利用平面法向量求二面角的大小 求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小 ? ? m n 如图：二面角的大小等于?-m ,n 利用平面法向量求二面角的大小 如图：二面角的大小等于m ,n ? ? m n 指入、指出平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小。 例3：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-N的