高二数学必修4 任意角的三角函数.doc

高二数学必修4 任意角的三角函数 （一）主要知识： 1．角终边相同的角为； 2．、扇形面积公式； 3．任意角的三角函数． （二）主要方法： 1． （三）例题分析： 例1．若，且， 则 （ ） 例2．（1）如果是第一象限的角，那么是第几象限的角？ （2）如果是第二象限的角，判断的符号． 解：（1）∵， ∴， 当时，，是第一象限的角， 当时，，是第二象限的角， 当时，，是第三象限的角． ∴是第一，二，三象限的角． （2）是第二象限的角，，， ，，∴． 例3．已知锐角终边上的一点坐标是 ，则 （ ） 例4．扇形的中心角为，半径为 ，在扇形中作内切圆及与圆外切，与相切的圆，问为何值时，圆的面积最大？最大值是多少？ 解：设圆及与圆的半径分别为， 则，得， ∴， ∵，∴，令， ，当，即时， 圆的半径最大，圆的面积最大，最大面积为． （四）巩固练习： 1．设，如果且，则的取值范围是 （ ） 2．已知的终边经过点，且 ，则的取值范围是． 3．若，则 （ ） 同角三角函数的基本关系与诱导公式 （一）主要知识： 1．；； （3）平方关系： ． 2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限． （二）主要方法： 1．； 2．三个式子中，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值． 分析：切割化弦是解本题的出发点． 解：原式． 例2．化简（1）； （2）已知，求的值． 解：（1）原式． （2），∴， ∵，∴，， ∴． 例3．（1） 若，求值①；②． （2）求值． 解：（1）①原式． ②∵， ∴原式． （2）∵ ． 又∵． ∴原式． 例4．已知是方程的两个根，，求角． 解：∵，代入， 得，又，∴， ，∴，又∵， ∴． （四）巩固练习： 1．若， （ ） 2．已知，则． 三角函数的求值 （一）主要知识： 三角函数求值问题一般有三种基本类型： 1．； 2．； 31．； 2．； 3．． ，（），则 （ ） 或 略解：由得或（舍），∴，∴． 例2．已知，是第三象限角，求的值．是第三象限角，∴（）， ∵，∴是第四象限角，∴， ∴原式．，求的值．， ∴原式． 例4．已知，求的值． 解：∵，， ∴， 得，若，则， 若，无意义． 说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如，，等，解题过程中应充分利用这种变形． 例5．已知关于的方程的两根为， 求：（1）的值；（2）的值；（3）方程的两根及此时的值． 解：（1）由根与系数的关系，得， ∴原式． （2）由①平方得：，，即，故． （3）当，解得， ∴或， ∵，∴或． （四）巩固练习： 1．若，则 （ ） 2． （ ） 2 4 8 16 三角函数的最值 （一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理： ①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之； ②，引入辅助角，化为求解方法同类型①； ③，设，化为二次函数在上的最值求之； ④，设化为二次函数在闭区间上的最值求之； ⑤，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值； ⑥根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”． （二）主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法．的最大值和最小值． 解：． 当，，当，． 例2．求函数的最大、最小值． 解：原函数可化为：，令，则，∴． ∵，且函数在上为减函数，∴当时，即时，；当时，即时，． 例3．求下列各式的最值：（1）已知，求函数的最大值； （2）已知，求函数的最小值． 解：（1），当且仅当时等号成立．故． （2）设，则原函数可化为，在上为减函数，∴当时，． 说明：型三角函数求最值，当，时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解． 例4．求函数的最小值． 解：原式可化为，引入辅助角，，得 ，∴，由，得或． 又∵，∴，且，故．∴，故． 例5．《高考计划》考点32，智能训练10：已知，则的最大值是 ． 解：∵，∴，故当时，． （四