高二数学抛物线与圆锥曲线的统一定义苏教版知识精讲.doc

高二数学抛物线与圆锥曲线的统一定义苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 抛物线与圆锥曲线的统一定义 二、本周教学目标： 1、掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程。 2、掌握抛物线的简单的几何性质，能根据抛物线方程解决简单的应用问题。 3、了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法。 4、了解曲线方程的概念，能根据曲线方程的概念解决一些简单的问题。 三、本周知识要点： （一）抛物线 1、抛物线定义： 平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 图形 方程 焦点 准线 相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即 不同点：（1）图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为，左端为（2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号 2、抛物线的几何性质 （1）范围 因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2）对称性 以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3）顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点． 4）离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．的距离的比是一个内的常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率 椭圆的准线方程：椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 对于，左准线；右准线 对于，下准线；上准线 2、双曲线的第二定义：一动点到定点F的距离与到一条定直线的距离之比是一个内的常数，那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做双曲线的双曲线的常数e是双曲线的离心率 对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线； 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线 三、曲线与方程 1、曲线方程 在直角坐标系中，如果某曲线C的解且的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，方程叫做曲线C的方程；曲线C叫做方程的曲线； （4）化方程为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 求简单的曲线方程的一般步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明 另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程． 【典型例题】 例1. （1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程 分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可； （2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。 解析：（1）p＝3，焦点坐标是（，0）准线方程是x＝－． （2）焦点在y轴负半轴上，＝2， 所以所求抛物线的标准方程是． 例2. 已知抛物线的标准方程是（1）y2＝12x，（2）y＝12x2，求它的焦点坐标和准线方程． 分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值． 解：（1）p＝6，焦点坐标是（3，0），准线方程是x＝－3． （2）先化为标准方程，，焦点坐标是（0，）， 准线方程是y＝－. 例3. 求下列椭圆的准线方程：（1） （2） 可化为 ，是焦点在轴上且，的椭圆 所以此椭圆的准线方程为 （2）方程是焦点在轴上且，的椭圆 所以此椭圆的准线方程为 例4. 椭圆上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离 解：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点P到椭圆的左焦点距离为 再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 例5. 设A、B两点的坐标是（1，0）、（-1，0），若，求动点M的轨迹方程． 解：设M的坐标为，M属于集合P=｛Ｍ｜｝.由斜率公式，点M所适合的条件可表示为 ， 整理后得 （≠±1） 下面证明 （x≠±1）是点M的轨迹方程 （1）由求方程的过程可知，M的坐标都是