高二数学抛物线的几何性质人教版知识精讲.doc

高二数学抛物线的几何性质人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 抛物线的几何性质 二. 重点、难点： 1. 重点： 抛物线的性质，焦半径，焦点弦的应用，数形结合。 2. 难点： 注意抛物线与椭圆、双曲线的联系。 【典型例题】 [例1] 给定抛物线，设A（）（），P是抛物线上的一点，且，试求的最小值。 解：设（）（） 则 ∴ ∵ ， ∴（1）当时，，此时当时， （2）当时，，此时当时， [例2] 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A、B两点，求。 解：当时，直线AB的方程为 由得A（）、B（，） ∴ 当时，直线AB的方程为 由得 设A（）、B（），则 ∴ [例3] 过抛物线的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？ 解：抛物线的准线与对称轴的交点为（），设直线MN的方程为 由 得 ∵ 直线与抛物线交于M、N两点 ∴ 即，， 设M（，），N（），抛物线焦点为F（1，0） ∵ 以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点 ∴ MF⊥NF ∴ 即 又 ，，且、同号 ∴ 解得 ∴ 即直线的倾斜角为或时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点。 [例4] 过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，求的值。 解：如图所示，设A（）、B（），AB的方程为 由得 ∴ 又 ∵ ， ∴ ∴ ∴ 又 [例5] 如图，已知直线：交抛物线于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使的面积最大，并求这个最大面积。 解：由解得A（4，4）、B（1，），知，所以直线AB的方程为 设P（）为抛物线AOB这条曲线上一点，为P点到直线AB的距离 ∵ ∴ ∴ 从而当时， 因此，当点P坐标为时， [例6] 已知直线与曲线在第一象限有公共点，求的取值范围。 解：如图，易知抛物线与轴交于A（0，1）、B（0，3） 直线恒过C（），由图象及抛物线的延伸趋势可知 当大于零且小于BC的斜率时满足题意 而，故。 [例7] 设抛物线的焦点为F，经过点F的直径交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//轴，证明：直线AC经过原点O。 证法一：因为抛物线的焦点坐标为F（） 所以经过点F的直线AB的方程为 代入抛物线方程得0 设A（）、B（），则 ∵ BC//轴，且点C在准线上 ∴ 点C的坐标为 故直线OC的斜率为 即也是OA的斜率，所以直线AC经过原点O 证法二：如图所示，设轴与抛物线准线的交点为E，过点A作AD⊥，D为垂足 则。连结AC，与EF相交于N，则 ，根据抛物线的几何性质，得， ∴ ∴ 点N是线段EF的中点，与抛物线的顶点O重合 ∴ 直线AC经过点O 证法三：设A（）、B（），由已知C得 直线AC的方程为，把原点的坐标代入，得 利用得上面等式恒成立 ∴ 直线AC经过点O 证法四：设A（）、B（），由已知得C（）， ∴ 又 ∵ O是公共点 ∴ A、O、C共线，即AC过点O [例8] 如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围。 方法一：设抛物线上关于对称的相异两点坐标为A（）、B（） ∵ 两点都在抛物线上 ∴ （1）－（2），得 ∵ ∴ （3） （3）代入（2），得 ∵ ，且相异 ∴ ∴ ∴ 的取值范围是（） 方法二：设抛物线上关于直线对称的两点所在直线方程为，代入，得 ∵ ，且两点为相异两点 ∴ 即 （1） 设两对称点为A（）、B（） 则， 又 ∵ ∴ ，即 （2） （2）代入（1），得 ∴ 的取值范围是（） 【模拟试题】（答题时间：60分钟） 一. 选择题： 1. 等腰直角三角形AOB内接于抛物线，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则的面积是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点（）在抛物线上，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 3. 已知A、B是抛物线上两点，O为坐标原点，若且的垂心恰是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点A（），的焦点是F，P是上的点，为使取得最小值，P点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线与直线的一个交点是（1，2），则抛物线的焦点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的焦点F，点P在抛