高二数学排列组合问题的常见题型与解题策略.doc

排列组合问题的常见题型与解题策略 解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。 ??? 以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，防漏防重；周密思考，用准加乘；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。 针对实际问题， “元素优先” “位置优先”。 例1? 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？ 解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有种，0在十位有种；第二类，不含0，有种。 故共有 ＋）＋＝３０种。 注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 种。 故共有 例1-2: 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解: 第一步 从5个球中选出2个组成复合元共有 种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有 种方法 根据分步计数原理装球的方法共有 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? （二）．合理分类与准确分步 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质（约束条件）进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．分类是高中数学中一种重要的思想方法 例2-1? 已知集合A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数． 解法1： 解题思路是：从正面考虑分类，将含5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集分为三类： 解法2： 解题思路是：从反面考虑，全部子集个数为，减去不符合条件的两类： 直接法、间接法是两类很重要的思考方法和解题方法． 错解： 解题思路是：先由4个偶数选2个偶数，再由剩下的7个数（2个偶数，5个奇数）选3个数，组成含有5个元素的集合且满足至少有2 例2-2：（与上面例2是完全相同的题目）由12人组成文娱小组，其中5人只会唱歌，5人只会跳舞，2人又会唱歌又会跳舞。现从这12人中选派4人会唱歌4人会跳舞的去排练节目，共有多少种选法？2C52C54+2C21C53C54+2C53C53+C54C54=525 例2-3：1到100的自然数中，取两个数，使这两个数的乘积能被6整除，共有多少种选法 分析：100个数分四类：①只能被2整除34个元素 ②只能被3整除17个元素 ③ 既能被2整除也能被3整除（能被6整除）16个元素 ④既不能被2整除也不能被3整除33个元素 解： 例2-4：５个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有　　　　　　　　　 解法1：直接法 可先安排甲，并按甲进行分类讨论： （1）若甲在第二个位置上，则剩下的私四人可自由安排，有种方法； （2）若甲在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有种站法； 再根据分类计数原理，不同的站法共有：＋＝７８种． 解法2：间接法 例2-5：从１到１００的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于１００，则不同的取法种数有　　　　　　　　　　　种。 解：此题的数字较多，情况也不一样，需要分析摸索其规律。为方便，两个加数中较小的为　　 101有１种； 10２有２种； ……149有49种，150有50种，151有49种……199有1种 故不同的区法有：（１＋２＋……５０）＋（４９＋４８＋……＋１）＝２５００种。 （三）.相邻问题：捆绑法 对于某些元素要求相邻排列的问题，先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素同时对相邻元素自排再与其它元素进行排列，。例? 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应全排列。由乘法原理共有种。 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？ 解：“小团体”排列，先“团