高二数学抛物线的定义；标准方程及几何性质人教实验版（B）知识精讲.doc

高二数学抛物线的定义；标准方程及几何性质人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 抛物线的定义；标准方程及几何性质 二. 本周学习目标 掌握抛物线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求抛物线的方程，掌握抛物线的几何性质。了解抛物线的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决有关直线和抛物线的位置关系的一些问题。 三. 考点分析 （一）抛物线的定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 （二） 1. 抛物线的标准方程、图像及几何性质： 焦点在轴上， 开口向右 焦点在轴上， 开口向左 焦点在轴上， 开口向上 焦点在轴上， 开口向下 标准方程 图 形 顶 点 对称轴 轴 轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 （是过焦点的所有弦中最短的弦） 焦半径 焦准 距 2. 抛物线标准方程中p的几何意义是：焦点到准线的距离，故p＞0 3. 抛物线的标准方程中，一次项的变量决定对称轴，一次项的符号决定开口方向。 4. 弦长公式：（1）过焦点F（,0）x，x分别为弦AB的端点的横坐标，y,y分别为弦AB的端点的纵坐标，弦|AB|＝x+x+p，，yy＝－p （2）x，x分别为弦PQ的横坐标，y,y分别为弦PQ的纵坐标，弦PQ所在的直线方程为y=kx+b,代入抛物线方程整理得Ax+Bx+C=0,则＝，若y,y分别为弦PQ的纵坐标，则＝ 5. 斜率为k的弦的中点的轨迹方程是：y=,一条平行于x轴且不包括端点在抛物线内部的射线。 6. 与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切 （2）设AB为焦点弦，端点在准线上的射影为A，B，M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF （3）若P为AB的中点，则PA⊥PB （4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。 7. 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 【典型例题】 例1. 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1） （2） 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中的哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程。 （2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程． 解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是： （2）原抛物线方程为： ， ①当 时， ，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是 ，准线方程是： ． ②当 时， ，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是 ，准线方程是： ． 综合上述，当 时，抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程是： ． 例2. 分别求满足下列条件的抛物线的方程。 过点B（-3,2）； 焦点在直线上 解：（1）依题意，设所求抛物线的方程为 ∵抛物线过点B（-3,2），代入得 代入得 ∴所求抛物线的方程为 （2）令， 令 ∴抛物线的焦点坐标为（0，-2）或（4，0） 当焦点坐标为（0，-2）时，抛物线的方程为 当焦点坐标为（4，0）时，抛物线的方程为 反思：抛物线的开口方向有四种，相应的标准方程的形式也就有四种，因此，在解题时要利用图形全面分析，防止遗漏符合题设条件的某个开口方向，从而防止遗漏符合题设条件的抛物线的标准方程。 例3. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，抛物线上的点 到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和 的值。 解法一：设抛物线方程为 ，则焦点为， 由题设可得： 解得或 故抛物线方程为 的值为 解法二：设抛物线方程为 ，则焦点为，准线方程为 . 根据抛物线定义， 到焦点的距离等于5，也就是 到准线的距离等于5， 则 因此抛物线方程为. 又点 在抛物线上，于是 点评：解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化。 例4. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段。AB的长。 由抛物线的标准方程可知，焦点为，准线方程为. 由题设，直线 的方程为： . 代入抛物线方程 ，整理得： . 解法一：解上述方程得： ， 分别代入直线方程得： 即 坐标分别为 、 . 解法二：设 ， ，则： = 解法三：设 、 . 由抛物线定义可知， 等于点 到准线 的距离 . 即 同理 点拨：解法一利用传统的基本方法求出 两点坐标，再利用两点间距离公式求出 的长。解法二没有直接求出A、B坐标。而是利用韦达定理找到 与 的关系，利用直线