高二数学推理与证明人教实验版（B）知识精讲.doc

高二数学推理与证明人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 推理与证明 二. 学习目标： 通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理和类比推理这两种合情推理的基本方法。体会演绎推理在实际证明中的应用价值和证明的一般过程。在应用中熟练综合法、分析法及反证法，理解证明原理，掌握证明细节。 三. 考点分析： 1. 合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，而类比推理是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理。 注：（1）归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同本质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。 （2）类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或一致性； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。 2. 直接证明中最基本的两种方法是综合法和分析法。 说明：（1）综合法是“由因到果”。即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。 （2）综合法格式—－从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达是“∵，∴”或“”。 （3）分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法又叫做逆证法或执果索因法。 （4）分析法格式—－与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等）。这种证明方法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书面表达是“要证……只需……”或“”。 3、一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法。 注：应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤： 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假设q； 第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设，q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真。 第五步：所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等各种情况。 【典型例题】 例1. 证明：不能为同一等差数列的三项。 证明：假设、、为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足 ＝＋md ① ＝＋nd ② ①n－②m得：n－m＝（n－m） 两边平方得：3n2＋5m2－2mn＝2（n－m）2 左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数 所以，假设不正确。即 、、不能为同一等差数列的三项 例2. 已知，求证：。 解析：要证 只需证 ∵，故只需证 即 从而只需证 只要证 即，而上述不等式显然成立，故原不等式成立。 点评：分析法是数学中常用到的一种直接证明方法。就证明程序来讲，它是一种从未知到已知（从结论到题设）的逻辑推理方法，具体说，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断，而当这些判断恰恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时，命题得证（应该强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提）。 因此，分析法是一种执果索因的证明方法，这种证明方法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。 一般来讲，分析法有两种证明途径： （1）由命题结论出发，找结论成立的充分条件，逐步推演下去； （2）由命题结论出发，找结论成立的必要条件，逐步推演下去。 用分析法证题，是寻求不等式成立的充分条件而不是必要条件，分析过程没有必要“步步可逆”。 例3. 已知a，b，c为互不相等的实数， 求证：。 解析：∵，，。 又a，b，c互不相等 ∴上面三式中至少有一个式子不能取“＝”号， ∴ ① ∵，∴， 同理，， ∴ ② 由①，②得。 点评：（1）综合法也是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题）出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性。 简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法。 （2）当用，这些不等式性质来证明一个严格不等式（不含“＝”号）时，说明所应用的不等式性质中“＝”号不成立的原因是必须的。如本例中“因为a，b，c互不相等，所以，，至少有一个不能取‘＝’号”。 例4. 求证： 证明：（1）当n＝1时，，原不