高二数学数系的扩充与复数的引入苏教版.doc

高二数学数系的扩充与复数的引入苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 数系的扩充与复数的引入 二. 本周教学目标： 1. 回顾数系的扩充过程，体会数的概念是逐步发展的，了解引入复数的必要性。 2. 理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件。 3. 掌握复数代数形式的代数表示，能进行复数代数形式的四则运算。 4. 理解复数的几何意义，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 ［知识要点］ 一. 复数的定义 1. 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 说明 （1）虚数单位：（1）；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。 （2）与－1的关系： 就是－1的一个平方根，即方程x2＝－1的一个根，方程x2＝－1的另一个根是－。 （3）的周期性：4n＋1＝i， 4n＋2＝－1， 4n＋3＝－i， 4n＝1，把复数表示成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式。 （5）复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b＝0时，复数a＋bi（a、b∈R）是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数；当且仅当a＝b＝0时，z就是实数0。 （6）复数集与其它数集之间的关系：NZQRC。 （7）两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋dia＝c，b＝d。 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小。只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。 二. 复数的四则运算 1. 复数z1与z2的加法法则：z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i。 复数的加法运算满足交换律： z1＋z2＝z2＋z1。 复数的加法运算满足结合律： （z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）。 2. 复数z1与z2的减法法则：z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i。 3. 乘法运算规则： 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i。 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 乘法运算律： （1）z1（z2z3）＝（z1z2）z3 （2）z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3（c＋di）（x＋yi）＝（a＋bi）x＋yi（x，y）a＋bic＋di（a＋bi）（c＋di） 三. 复数的几何意义 复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi（a、b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0）， 它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义。也是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 【典型例题】 例1. 实数m取什么数值时，复数z＝m＋1＋（m－1）i是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 分析：因为m∈R，所以m＋1，m－1都是实数，由复数z＝a＋bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值。 解：（1）当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数； （2）当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数； （3）当m＋1＝0，且m－1≠0时，即m＝－1时，复数z 是纯虚数。 例2. 已知（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，其中x，y∈R，求x与y。 解：根据复数相等的定义，得方程组，所以x＝，y＝4 例3. 计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i） （5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i） i＝－11 i。 例4. 计算：（1－2i）＋（－2＋3i）＋（3－4i）＋（－4＋5i）＋…＋（－2002＋2003i）＋（2003－2004i） 解法一：原式＝（1－2＋3－4＋…－2002＋2003）＋（－2＋3－4＋5＋…＋2003－2004）i＝（2003－1001）＋（1001－2004）i＝1002－1003i。 解法二：∵（1－2i）＋（－