高二数学数系的扩充与复数的概念人教实验版（B）知识精讲.doc

高二数学数系的扩充与复数的概念人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 数系的扩充与复数的概念 二. 学习目标 掌握复数的概念、复数的表示方法及其几何意义，复数的模 三. 考点分析 1. 复数及分类 形如的数叫做复数，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位，且满足。 2. 复数相等的充要条件 。特别地。 3. 数集间的联系： 4. 复数集C与复平面上的点集和以原点为起点的向量集是一一对应的，见图。 5. 复数的模：向量的长度叫做复数）的模，即 注： （1）； （2）； （3）； （4）。 6. i的幂 。 7. 共轭复数及其运算性质 与互为共轭复数，且， 它的运算性质有：，， 8. 的性质 记，则，，，，，。 【典型例题】 例1. 当m为何实数时，复数； （1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数。 解：（1）z为实数，则虚部， 即 解得m=2 ∴ m=2时，z为实数 （2）z为虚数，则虚部， 即 解得且 ∴当且时，Z为虚数 （3）z为纯虚数 解得 ∴ 当时，z为纯虚数 例2. 求同时满足下列条件的所有复数z： （1）是实数，且。 （2）z的实部和虚部都是整数。 解：设且 则 由（1）知是实数，且 ∴ 即或 又* 当b=0时，*化为无解。 当时，*化为 ∴ 由（2）知 ∴ 相应的，（舍）， 因此，复数z为：或 例3. 已知复数z满足且，求z的值。 解：设，由已知得 ① ∵ 依题意得 由③得或 （1）当时，由①知但与②矛盾 ∴ ，即 （2）当时，由①得 把值代入②均成立 综上可知： ， 例4. 已知且，求的最值。 解： 设，那么， 又，。 即。 的最小值为0，最大值为3。 例5. 设虚数，满足 （1）若是一个实系数一元二次方程的两根，求。 （2）若（i为虚数单位，），，复数，求的取值范围。 解：（1）∵ 是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭， 可设且，则 由得 即： 根据复数相等，得 ∵ 解得或 ∴ 或 （2）由于， ∴ ∴ 由于且，可解得， 令， 在上，是减函数 ∴ 【模拟试题】 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 若，则z对应的点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 两点 C. 线段 D. 直线 5. 复数，且，则是（ ） A. 实数 B. 纯虚数 C. 非纯虚数 D. 复数 6. 若，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 7. 计算：_________ 8. 若，，，则＝ 。 9. 。 10. 若，且，则____________ 三、解答题（本大题共4题，共50分） 11. 在复数范围内解方程（i为虚数单位）。 12. 若复数z满足，且为纯虚数，求z。 13. 若复数z满足，求的最大、最小值。 14. 若复数z满足，求证： [参考答案] http// 1. A 提示：若为共轭复数，则，但若，如，，满足，但与不能互为共轭复数，因此应选A。 2. C 提示：由知 或 故选C 3. D 提示：由幂的运算法则，有 这里用到了的周期性结论。 4. A 提示：设，则 即 即，这是以为圆心，以2为半径的圆的方程。 5. B 提示：设（由，知） 6. B 7. 原式 提示：注意利用简化运算 8. 9. 10. 提示：设，则 又 则有联立得 即 11. 解析 原方程化简为，设，（），代入上述方程得， 解得 ∴原方程的解是。 12. 解：设 13. 解法一：数形结合法 设，则 化简，得 表示点到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上 由平面几何知识，可知|z|的最