高二数学椭圆标准方程苏教版知识精讲.doc

高二数学椭圆标准方程苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 椭圆标准方程 二. 重点、难点： 教学使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程． 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力． 通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力． 椭圆标准方程的推导二椭圆的定义： 平面内到两定点F1F2的距离之和等于常数（|F1F2|） 说明：（1）需加限制条件：“在平面内”． （2）＝|F1F2|F1F2； 若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在． 2、标准方程的推导 （1） 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（）以两定点F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（）| F1F2|＝2c（c0）M（xy）F1（－0）F2（c0） （2） 由定义不难得出椭圆集合为：P＝{M|MF1|+|MF2|＝2a （3） （4）（其中a2＝b2+c2） 3. 两种标准方程的比较 【典型例题】 例8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程． 分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程． 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系． ∵2a＝102c＝8 ∴a＝5c＝4b2＝a2－c2＝－＝9b＝3 因此，这个椭圆的标准方程是 请大家再想一想，焦点F1F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分线为x轴，轨迹方程是什么形式呢？ ． 变式1、已知B、C是两个定点，∣BC∣＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程． 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单． 在图中，由△ABC的周长等于16，∣BC∣＝6可知，点A到B、C两点的距离之和是常数，即∣AB∣+∣AC∣＝16 说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件； ②例2要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确地得到所求的轨迹方程，. 变式2、过椭圆4x2+y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2的周长是多少？ 解：根据题意画出图形 ∵|AF1|+|AF2|＝2|BF1|+|BF2|＝2 ∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4 即|AB|+|AF2|+|BF2|＝4 变式3、如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长为多少？ 解：根据题意画出图形，其中F2是椭圆的另一个焦点，由椭圆定义得： |MF2|+|MF1|＝2×5＝10 又|MF1|＝2，∴|MF2|＝8 ∵ON是△MF1F2的中位线 ∴|ON|＝4 评述：对于例1可以通过分别求出A、B两点的坐标从而求出△ABF2的周长．对于例2可以通过求M点坐标，再求N点坐标，从而求ON的长度．但通过利用定义求出结果的这种方法可以使我们去繁就简，其巧妙之处大家也深有感触．可见寻求简捷的解法应成为我们不断探索的动力． 例2. 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，求线段PP中点M的轨迹． 解：设点M的坐标为（x，y，x0，y0x＝x0y＝x0，y0x2+y2＝4x02+y02＝4 ① 将x0＝x， y0y代入方程①， 得 x2+4y2＝+ y2＝1 所以点M的轨迹是一个椭圆．（如图） 说明：①本题在求点M（x，y）x，yx，yx0，y0x0，y0x，yx2+16y2＝400x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程. 解：把已知椭圆方程变为 从而焦点F的坐标为（0，3） 设点P坐标为（x，y， x12+16y12＝400 所成比为2，得 ∴x1＝3x，y1＝3y6 代入①得： 225x2+144y2－576y+176＝0. 内，内接三角形ABC，它的一边BC与长轴重合，A在椭圆上运动，试求△ABC的重心轨迹． 分析：直接寻找三角形ABC的重心P的轨迹较为困难，而A在椭圆上运动，可将点P转移到A来讨论． 解：设重心P（x，y）及A（x1，y1），则AO是三角形ABC的中线，根据三角形重心公式与定比分点定义，有λ＝，则有： x1＝ y1＝ ∵A点在椭圆上  ∴ ∴是所求点的轨迹方程