高二数学演绎推理苏教版知识精讲.doc

高二数学演绎推理苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 演绎推理 二. 重点、难点： 教学重点：演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系 教学难点：演绎推理的应用 二. 基础知识与基本方法 1、知识结构 2、演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理. 3、合情推理与演绎推理的区别: ①归纳是由特殊到一般的推理； ②类比是由特殊到特殊的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理. 4、推理的特点 从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理中只要前提正确，推理形式正确，则得到的结论一定正确. 5、“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　　 （1）大前提——已知的一般原理；　　　　　　　 （2）小前提——所研究的特殊情况；　　　　　　 （3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断. 6、演绎推理的结构：三段论推理的依据，用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P. 7、各种推理的思维模式 归纳推理的思维过程为：实验、观察概括、推广猜测一般结论。 类比推理的思维过程为：观察、比较联想、类推猜测新的结论 演绎推理的思维过程为：若M具有性质P，S为M的子集，则S具有性质P. “三段论”可以表示为 大前提：M是P　，　小前提：S是M　，结论：S是P。 【典型例题】 例1. 把下列推理写成三段论的形式 （1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行； （2）在一个标准大气压下，水的沸点是100°C，所以在一个标准大气压下把水加热到100°C时，水会沸腾； （3）一切奇数都不能被2整除，是奇数，所以不能被2整除； （4）三角函数都是周期函数，是三角函数，因此是周期函数； （5）两条直线平行，同旁内角互补。如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B＝180°； 例2. 如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E为垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等。 证明：（1）因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形，…………大前提 　　在△ABD中，AD⊥BC，∠ADB＝90(，………………………小前提 所以△ABD是直角三角形. ……………………………………结论 　　同理，△AEB也是直角三角形 　　（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，…………………大前提 　　而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，………小前提 　　所以DM＝，……………………………………………………结论 　　同理，EM＝. 所以DM＝EM 例3. 证明函数f（x）＝－x2+2x在（－∞，1）上是增函数. 证明：满足对于任意x1，x2∈D，若x1x2，有f（x1）f（x2）成立的函数f（x），是区间D上的增函数. 任取x1，x2 ∈（－∞，1）且x1x2， f（x1）－f（x2）＝（－x12+2x1）－（x22+2x2）＝（x2－x1）（x1+x2－2） 因为x1x2 所以x2－x10 因为x1，x2≤1 所以x1+x2－20 因此f（x1）－f（x2）0，即f（x1）f（x2） 所以函数f（x）＝－x2+2x在（－∞，1）上是增函数. 例4. 在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AD⊥BC，求证AC⊥BD。 法一：几何方法 ∵过点A作AH⊥面BCD于H，连BH，则AH⊥CD又AB⊥CD ∴CD⊥面ABH，∴CD⊥BH 又AD⊥BC ∴BC⊥面ADH ∴BC⊥DH ∴H为△BCD的垂心， ∴CH⊥BD 又AH⊥BD ∴BD⊥面ACH ∴AC⊥BD 法二：向量的方法 设＝a， ＝b，＝c， AB⊥CDa（c－b）＝0 AD⊥BCc（b－a）＝0 ab－cb＝0 b（a－c）＝0 AC⊥BD 例5. 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）＝，f（2）＝2+，求f（2006）的值。 解：∵f（x+2）＝ ∴f（x+4）＝f[（x+2）+2]＝ ∴f（x+8）＝f[（x+4）+4]＝ ∴f（x）是以8为周期的周期函数。 f（2006）＝f（6）＝f（2+4）＝－ 例6. （安徽卷）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有 （Ⅰ）证明； （Ⅱ）证明 其中和均为常数； （Ⅲ）当（Ⅱ）中的x0时，设，讨论在内的单调性并求极值。 证明：（Ⅰ）令，则，∵，∴。 （Ⅱ）①令，∵，∴，则。 假设时，，则，而， ∴，即成立。