高二数学直线的方向向量与直线的向量方程人教实验版（B）知识精讲.doc

高二数学直线的方向向量与直线的向量方程人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示 二. 教学目的： 1、掌握用向量表示直线的方法及确定点在直线上的位置的方法；会用向量的方法证明线线平行、线面平行、面面平行；能通过向量计算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。 2、（1）理解平面的法向量的概念，并会求平面的法向量； （2）了解平面法向量的应用，并能用法向量论证相关的立体几何问题； （3）掌握正射影的概念，并能作出简单图形F在某一平面内的正射影F0，并说出其图形的形状； （4）掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用此定理解题。 三. 教学重点、难点 重点：（1）直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。 （2）平面法向量的概念及其应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定理； 难点：（1）直线的方向向量，平面α的共面向量的选取及其表示。 （2）对平面法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及三垂线定理的应用。 四. 知识分析 3．2．1 直线的方向向量与直线的向量方程 1、思考：如何确定空间中的点的位置？ 分析：确定平面内点的位置，通常采用两个方法――“平面直角坐标系”或“该点相对于某一已知点的方向及距离”。那么，空间内呢？ 我们也可以用“该点的空间直角坐标系（x，y，z）”或“在空间中该点相对于某一已知点的方向及距离”来描述。 注意：两个词――－“方向”、“距离”，给我们什么启示？ 结论：在空间我们可以用向量确定空间一点的位置或点的集合。 【位置向量】 已知向量，在空间固定一个基点O，再作向量，则点A在空间的位置就被向量所惟一确定了。这时，我们称这个向量为位置向量。 注：“基点”是必需的；相对于确定的基点来说，空间内的点与向量有了一一对应关系。 2、思考：如何确定空间中的直线？ 分析：在平面内确定直线通常采用的是“点向”和“两点”，那么空间中呢？ 探究：通过实际观察，在空间中我们仍旧可以采用“点向”或“两点”来确定直线。问题是如何操作呢？ 方案：求轨迹的一般步骤 （1）点向：过点A，且平行于向量 设P为直线上任一点，则有，故存在，使 ① ，这样直线上每一个点P都与惟一的一个实数t相对应，向量方程就是过A且方向向量为的直线的参数方程，每一个确定的t都对应着一个点Pl。这个方程也可以表示成（直线的点向式参数方程） 这个方程的几何意义如图1所示。 （2）两点：过点A和点B （可以看成过点A，方向向量为） 这样，我们可得方程（两点式） 这个方程的几何意义如图2所示。 探究：观察到方程中的系数满足1－ t ＋ t ＝ 1, 这与点A , P , B三点共线有关系吗？ （1）若令t＝0或1，则点P在直线AB的什么位置？ （2）若令t＝或2，则点P在直线AB的什么位置？（t＝时得出线段AB中点的向量表达式） （3）若令t＝或3，则点P在直线AB的什么位置？ （4）若令t＝－1，则点P在直线AB的什么位置？ 【应用基础】 1、怎样用向量的方法证明线线平行？ 分析：设直线l1的方向向量为，直线l2的方向向量为，则由向量共线的条件得： （或l1与l2重合） 2、怎样用向量的方法证明线线垂直？ 分析：设直线l1的方向向量为，直线l2的方向向量为，则有 （ 3、怎样用向量的方法求两直线的夹角？ 分析：考虑到两向量夹角与两直线夹角定义的区别,有 4、怎样用向量的方法证明线面平行？ 分析：已知两个不共线向量，与平面α共面，一条直线l方向向量为，则由共面向量定理，可得：l//α或l在α内存在两个实数x，y，使 另外，如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式成立。 3．2．2 平面的法向量与平面的向量表示 1、平面法向量的定义： 已知平面α，如果向量的基线与平面α垂直，则就叫做平面α的一个法向量或说向量与平面α正交。 2、平面法向量的性质： ①平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量； ②一个平面的所有法向量共线（或平行） 3、怎样求平面的法向量？ ①首先我们利用向量的方法证明线面垂直判定定理，证明中一定要注意共面向量定理的应用。 【线面垂直判定定理】如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 已知a, b是平面α内的两条相交直线，且直线n⊥a，n⊥b（如图） 求证：n⊥α. 证明：设m是α内的任一条直线。 在n，a，b，m上分别取非零向量。 因为a与b相交，由共面向量定理可知，存在惟一的数对(x，y)， 使 ，由已知条件，可推知 . 因此，得n⊥m. 因